平方根(読み)へいほうこん(英語表記)square root

翻訳|square root

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

平方根
へいほうこん
square root

実数 a に対して,x2a を満たす実数 xa の平方根と呼ぶ。a が正数のとき a の平方根は正数であるものと負数であるものの二つが存在し,このうち正の方を√a で表す。0の平方根は 0である。たとえば,√2=1.41421356…,√3=1.7320508075…であり,これらは循環(→循環小数)しない無限小数で表され,無理数となる。a が負数のとき a の平方根は実数の範囲では存在しない。負数の平方根は,考える数の範囲を複素数にまで広げると定義することができる。-1の平方根の一つを i で表し,虚数単位(→虚数)と呼ぶ。複素数についても平方根の概念を次のように拡張できる。0でない複素数 z極形式で表して,

zr(cosθi sinθ)(r>0,-π<θ≦π)

とすると,は 2乗すると z になる複素数の一つである。有理数から出発して,その平方根をとる操作および加減乗除(→四則)の操作を繰り返して得られる数は,定規コンパス作図することができる数である。たとえば黄金比(→黄金分割)の は,定規とコンパスで作図できる。このことから,正五角形は定規とコンパスで作図できることがわかる。

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デジタル大辞泉の解説

へいほう‐こん〔ヘイハウ‐〕【平方根】

2乗してaになるような数のaに対する称。aの平方根は正・負二つあり、正の平方根は、(ルートa)と書く。√は根号とよび、root(根)のrの変形。二乗根自乗根

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百科事典マイペディアの解説

平方根【へいほうこん】

2乗してaとなる数をaの平方根または2乗根という。aが0でなければ平方根は二つあり,一方をbとすれば他方は−bとなる。a>0のとき正の平方根を(式1)と書く。→平方開平

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世界大百科事典 第2版の解説

へいほうこん【平方根 square root】

2乗してaとなる数をaの平方根,または2乗根という。(1)aが正の数のとき,aの平方根は実数で,二つあり,一つは正,もう一つは負で,それらの絶対値は等しい。正の平方根をで表す。(2)aが0のとき,0の平方根は0である。(3)aが負の数のとき,aの平方根は二つの純虚数で,である。前者をで表すこともある。(4)αが0でない複素数のとき,αの平方根は,複素数の範囲で二つあり,その一つがabi(a,bは実数)ならば,他の一つは-(abi)である。

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大辞林 第三版の解説

へいほうこん【平方根】

〘数〙 2乗すると a になる数を、 a の平方根と呼ぶ。正数 a の平方根は正と負の二つあり、正の平方根を [未処理→] <gi> � </gi> 、負の平方根を - [未処理→] <gi> � </gi> と書く。自乗根。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

平方根
へいほうこん

aが与えられたとき、二乗(平方)してaとなる数、つまり、x2aとなる数xaの平方根という。aが正の数のときは、aの平方根は正の数、負の数それぞれ一つずつあり、その絶対値は等しい。そして、正のほうを、と書く。は、ルートaと読む。負のほうは、-で表される。したがって、このとき、aの平方根は、±とまとめられることになる。たとえば、2の平方根は、と-で、±とまとめられる。この場合、記号を、根号(または平方根号)という。0の平方根は0だけである。また、負の数の平方根は、実数でなく、虚数である。たとえば-2の平方根は、iと-iである(iは虚数単位で、のこと)。
 正の整数の平方根について考える。aが平方数、つまり、ある正の整数nの平方の形n2と書かれる数であるときは、nに等しい(たとえば =2)。しかし、aが平方数でないとき、は有理数になることはけっしてなく、無理数になる。つまり、有限小数や分数で表されることはなく、循環しない無限小数になる(たとえば=1.41421356……)。正方形の一辺の長さを1とすれば、対角線の長さはと表されるが、が無理数であることを古代ギリシア人はすでに知っていた。それは、ユークリッドの『原論』にみられる。
 正の数の平方根について考えているとき、根号はつねに正の数を表す。これが根号の規約である。すると、a>0のときaであるが、a<0のときa2>0であって、=-a となる。
 平方根号の中に平方根が含まれることがある。たとえば、

である。このような場合、一般には、二重の平方根号を外すことはできないが、外すことのできる場合がある。abが正の整数、が無理数のとき、

となる正の有理数xyは、a2bが有理数の平方の形になるときにだけ存在する。たとえば、

では、22-3=1=12で、

となる。しかし、

の平方根号は、外すことができない。[三輪辰郎]

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