百科事典マイペディアの解説
二次関数【にじかんすう】
→関連項目二次曲面
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出典 株式会社平凡社世界大百科事典 第2版について 情報
a、b、cを定数とするとき、
y=ax2+bx+c (a≠0)
で表される関数をいう。とくに、定数bとcがともにゼロであれば、yはxの二乗(平方)に比例する。たとえば、ボールを地上hメートルのところから、毎秒v0メートルの速さで真上に投げ上げるとき、x秒後のボールの高さを地上yメートルとすれば、だいたいy=-4.9x2+v0x+hが成り立つ。
以下、この関数の定義域は実数全体の集合とし、a、b、cもすべて実数とする。いわゆる「平方完成」によって
と変形できる。ただしD=b2-4acである。この関数のグラフは、放物線y=ax2をx軸の方向に-b/2aだけ、y軸の方向に-D/4aだけ平行移動したものである。したがって、このグラフは、頂点が(-b/2a,-D/4a)、軸(対称軸)がx=-b/2aである放物線となる。また、a>0のとき、グラフは下に凸であるから、この関数はx<-b/2aで減少、x>-b/2aで増加し、x=-b/2aで最小値-D/4aをとる。a<0のときには、増減がこれとは逆になり、x=-b/2aで最大値-D/4aをとる。また、yの値がゼロになるときのxの値は、二次方程式ax2+bx+c=0の解であるから、D>0のとき、二次関数y=ax2+bx+cのグラフはx軸と2点で交わり、D=0のときにはx軸と接し、D<0のときはx軸と共有点をもたない。
[植竹恒男]
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