二次曲線（読み）にじきょくせん（英語表記）quadratic curve

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

平面上で，座標 P（x，y）が，2次方程式 ax²＋2kxy＋by²＋2fx＋2gy＋c＝0 を満足するような点 P全体は，二次曲線と呼ばれる図形をつくる。ここに係数 a，k，b，f，g，c は任意の実数である。ただし，複素変数で考えて，係数にも複素数を許した複素二次曲線を考えることもある。二次曲線は係数の値の取り方によって，放物線，楕円，双曲線（これらを固有二次曲線という），1点，1直線，2直線（これらを退化した二次曲線という）などの図形になる。すべての固有二次曲線は，方程式 y²＝2px－（1－q²）x² （p＞0）の形に書き直すことができ，これを二次曲線の頂点方程式という。方程式からも明らかなように，この場合，x軸は二次曲線の主軸となり，y軸は二次曲線の一つの接線となる。この p を二次曲線のパラメータ，q を離心率という。また原点は曲線の頂点の一つである。離心率によって二次曲線を分類すれば，

ｑ＝0 のとき		半径p の円
ｑ＜1 のとき		楕円
ｑ＝1 のとき		放物線
ｑ＞1 のとき		双曲線

となる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

デジタル大辞泉

二次方程式によって表される曲線。放物線・楕円・双曲線の総称。→円錐曲線

出典　小学館

百科事典マイペディア

平面上で直角座標x，yの二次方程式ax²＋２hxy＋by²＋２gx＋２fy＋c＝０をみたす点（x，y）の全体。係数から作った行列式（式１）を判別式といい，D＝abc＋２fgh−bf²−ag²＋ch²である。ここでD≠０なら固有二次曲線（楕円・放物線・双曲線，つまり円錐曲線）になり，D＝０なら式が因数分解されて二つの直線になる。→二次関数／二次曲面
→関連項目楕円

出典　株式会社平凡社

世界大百科事典 第２版

平面上の直交座標(x,y)を用いて，実数係数の二次方程式，　Ax²＋2Hxy＋By²＋2Gx＋2Fy＋C＝0で表される曲線を総称して二次曲線という。係数A,B，……，Hのとりようによっては，方程式を満たす点がまったく存在しなかったり(例えばx²＋y²＋1＝0)，ただ1点にすぎなかったり(例えばx²＋y²＝0)することもあるし，また方程式は一つの直線を表したり(例えばx²＋2xy＋y²＝0)，二つの直線を表したり(例えばx²－y²＝0)することもある。

出典　株式会社平凡社

日本大百科全書(ニッポニカ)

平面上で二次方程式
　　ax²+2hxy+by²+2gx+2fy+c=0
の解(x,y)全体がつくる図形をいう。たとえば
　　5x²+4xy+2y²+2x+4y+2=0
は、適当な直交座標系｛,｝によって書き直せば6²+²=3となるから楕円(だえん)である。また、
　　a=b=c=1, h=g=f=0
である二次曲線はx²+y²=-1であるから実数解をもたない。この方程式が表す曲線を虚円というが、円は楕円の仲間であるから、虚楕円の一つである。二次曲線の式が因数分解して、たとえば
　　(x-y+2)(x+2y+1)=0
のようになれば、この二次曲線はx-y+2=0なる直線とx+2y+1=0なる直線に分解する。一般に、二次曲線は二直線に分解する場合と分解しない場合がある。分解しない場合は
　　h²-ab＞0,=0,＜0
に応じて、双曲線、放物線、実または虚の楕円になり、これらの曲線は円錐(えんすい)曲線、または固有二次曲線と総称される。

　二次曲線の式を斉次(せいじ)座標x=X/Z,y=Y/Zで表せば
　　aX²+bY²+cZ²+2fYZ+2gZX+2hXY=0
となり、無限遠直線Z=0との交点は、
　　aX²+2hXY+bY²=0
により求められる点(X,Y,0)である。したがって、判別式h²-abの正、ゼロ、負に応じて、双曲線は無限遠直線と2点で交わる、放物線は接している、楕円は交わらない、ことがわかる。これが円錐曲線の無限遠直線を用いた特徴づけである。二次曲線がある点に関して対称であるとき、この点を、考える二次曲線の中心という。中心がただ一つの二次曲線を有心、それ以外のとき無心という。楕円、双曲線、交わる二直線の場合は有心であり、放物線、平行二直線は無心である。

［立花俊一］

二次曲線

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

精選版 日本国語大辞典

〘名〙 二元二次方程式によって表わされる平面図形の総称。係数の値のとり方によって、円、楕円、双曲線、放物線、二直線などになる。円錐曲線。〔電気工学ポケットブック（1928）〕

出典　精選版 日本国語大辞典