ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
q=0 のとき | 半径p の円 | |
q<1 のとき | 楕円 | |
q=1 のとき | 放物線 | |
q>1 のとき | 双曲線 |
となる。
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q=0 のとき | 半径p の円 | |
q<1 のとき | 楕円 | |
q=1 のとき | 放物線 | |
q>1 のとき | 双曲線 |
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平面上で二次方程式
ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0
の解(x,y)全体がつくる図形をいう。たとえば
5x2+4xy+2y2+2x+4y+2=0
は、適当な直交座標系{,
}によって書き直せば6
2+
2=3となるから楕円(だえん)である。また、
a=b=c=1, h=g=f=0
である二次曲線はx2+y2=-1であるから実数解をもたない。この方程式が表す曲線を虚円というが、円は楕円の仲間であるから、虚楕円の一つである。二次曲線の式が因数分解して、たとえば
(x-y+2)(x+2y+1)=0
のようになれば、この二次曲線はx-y+2=0なる直線とx+2y+1=0なる直線に分解する。一般に、二次曲線は二直線に分解する場合と分解しない場合がある。分解しない場合は
h2-ab>0,=0,<0
に応じて、双曲線、放物線、実または虚の楕円になり、これらの曲線は円錐(えんすい)曲線、または固有二次曲線と総称される。
二次曲線の式を斉次(せいじ)座標x=X/Z,y=Y/Zで表せば
aX2+bY2+cZ2+2fYZ+2gZX+2hXY=0
となり、無限遠直線Z=0との交点は、
aX2+2hXY+bY2=0
により求められる点(X,Y,0)である。したがって、判別式h2-abの正、ゼロ、負に応じて、双曲線は無限遠直線と2点で交わる、放物線は接している、楕円は交わらない、ことがわかる。これが円錐曲線の無限遠直線を用いた特徴づけである。二次曲線がある点に関して対称であるとき、この点を、考える二次曲線の中心という。中心がただ一つの二次曲線を有心、それ以外のとき無心という。楕円、双曲線、交わる二直線の場合は有心であり、放物線、平行二直線は無心である。
[立花俊一]
出典 精選版 日本国語大辞典精選版 日本国語大辞典について 情報
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