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二次曲線 にじきょくせんquadratic curve

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

二次曲線
にじきょくせん
quadratic curve

平面上で,座標 P(xy)が,2次方程式 ax2+2kxyby2+2fx+2gyc=0 を満足するような点 P全体は,二次曲線と呼ばれる図形をつくる。ここに係数 akbfgc は任意の実数である。ただし,複素変数で考えて,係数にも複素数を許した複素二次曲線を考えることもある。二次曲線は係数の値の取り方によって,放物線楕円双曲線(これらを固有二次曲線という),1点,1直線,2直線(これらを退化した二次曲線という)などの図形になる。すべての固有二次曲線は,方程式 y2=2px-(1-q2x2p>0)の形に書き直すことができ,これを二次曲線の頂点方程式という。方程式からも明らかなように,この場合,x軸は二次曲線の主軸となり,y軸は二次曲線の一つの接線となる。この p を二次曲線のパラメータ,q を離心率という。また原点は曲線の頂点の一つである。離心率によって二次曲線を分類すれば,

=0 のとき 半径p の円
<1 のとき 楕円
=1 のとき 放物線
>1 のとき 双曲線


となる。

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百科事典マイペディアの解説

二次曲線【にじきょくせん】

平面上で直角座標x,yの二次方程式ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0をみたす点(x,y)の全体。係数から作った行列式(式1)を判別式といい,D=abc+2fgh−bf2−ag2+ch2である。
→関連項目楕円

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世界大百科事典 第2版の解説

にじきょくせん【二次曲線 quadratic curve】

平面上の直交座標(x,y)を用いて,実数係数の二次方程式, Ax2+2HxyBy2+2Gx+2FyC=0で表される曲線を総称して二次曲線という。係数A,B,……,Hのとりようによっては,方程式を満たす点がまったく存在しなかったり(例えばx2y2+1=0),ただ1点にすぎなかったり(例えばx2y2=0)することもあるし,また方程式は一つの直線を表したり(例えばx2+2xyy2=0),二つの直線を表したり(例えばx2y2=0)することもある。

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大辞林 第三版の解説

にじきょくせん【二次曲線】

平面上で、 x y の二元二次方程式によって表される曲線。楕円・双曲線・放物線・円などがこれにあたる。 → 円錐曲線

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

二次曲線
にじきょくせん
quadratic curve

平面上で二次方程式
  ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0
の解(x,y)全体がつくる図形をいう。たとえば
  5x2+4xy+2y2+2x+4y+2=0
は、適当な直交座標系{,}によって書き直せば62+2=3となるから楕円(だえん)である。また、
  a=b=c=1, h=g=f=0
である二次曲線はx2+y2=-1であるから実数解をもたない。この方程式が表す曲線を虚円というが、円は楕円の仲間であるから、虚楕円の一つである。二次曲線の式が因数分解して、たとえば
  (x-y+2)(x+2y+1)=0
のようになれば、この二次曲線はx-y+2=0なる直線とx+2y+1=0なる直線に分解する。一般に、二次曲線は二直線に分解する場合と分解しない場合がある。分解しない場合は
  h2-ab>0,=0,<0
に応じて、双曲線、放物線、実または虚の楕円になり、これらの曲線は円錐(えんすい)曲線、または固有二次曲線と総称される。
 二次曲線の式を斉次(せいじ)座標x=X/Z,y=Y/Zで表せば
  aX2+bY2+cZ2+2fYZ+2gZX+2hXY=0
となり、無限遠直線Z=0との交点は、
  aX2+2hXY+bY2=0
により求められる点(X,Y,0)である。したがって、判別式h2-abの正、ゼロ、負に応じて、双曲線は無限遠直線と2点で交わる、放物線は接している、楕円は交わらない、ことがわかる。これが円錐曲線の無限遠直線を用いた特徴づけである。二次曲線がある点に関して対称であるとき、この点を、考える二次曲線の中心という。中心がただ一つの二次曲線を有心、それ以外のとき無心という。楕円、双曲線、交わる二直線の場合は有心であり、放物線、平行二直線は無心である。[立花俊一]

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