二次曲面(読み)にじきょくめん(英語表記)quadrics

精選版 日本国語大辞典 「二次曲面」の意味・読み・例文・類語

にじ‐きょくめん【二次曲面】

〘名〙 三元二次方程式によって表わされる空間図形総称係数の値のとり方によって、球面楕円面双曲面楕円放物面などになる。〔数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書(1889)〕

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デジタル大辞泉 「二次曲面」の意味・読み・例文・類語

にじ‐きょくめん【二次曲面】

平面による切り口が楕円双曲線放物線などの二次曲線になる曲面。三元二次方程式で表される。

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 「二次曲面」の意味・わかりやすい解説

二次曲面
にじきょくめん
quadrics

空間において,座標 P(xyz)が2次方程式 ax2by2cz2+2fyz+2gzx+2hyx+2lx+2my+2nzd=0 を満足するような点全体は,二次曲面といわれる空間図形をつくる。係数はすべて任意の実数であり,その値のとり方によって,各種の二次曲面が得られる。ただし,複素変数で考えて,係数にも複素数を許した複素二次曲面を考えることもある。退化しない実二次曲面を標準方程式で示せば次のようになる。

(1) 楕円面 x2/a2y2/b2z2/c2=1
(2) 二葉双曲面 x2/a2y2/b2z2/c2=1
(3) 一葉双曲面 x2/a2y2/b2z2/c2=1
(4) 楕円錐 x2/a2y2/b2z2/c2=0
(5) 楕円放物面 x2/a2y2/b2-2z=0
(6) 双曲放物面 x2/a2y2/b2-2z=0
(7) 楕円柱 x2/a2y2/b2-1=0
(8) 双曲柱 x2/a2y2/b2-1=0
(9) 放物柱 x2-2py=0


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日本大百科全書(ニッポニカ) 「二次曲面」の意味・わかりやすい解説

二次曲面
にじきょくめん

空間の直交座標x、y、zの間の二次方程式
 ax2+by2+cz2+2fyz+2gzx+2hxy
   +2lx+2my+2nz+d=0
で表される曲面を二次曲面という。座標系を適当に平行移動したり回転移動したりすれば、二次曲面は以下の七つの標準形のいずれかになる(ただし、以下のa、b、cは原式のものとは異なる)。

(1)楕円面(だえんめん)
 (x2/a2)+(y2/b2)+(z2/c2)=1
どの平面で切っても切り口は楕円である。また、この二次曲面だけは有限の範囲に収まっている。a=bのとき、ラグビーボールまたは円盤に似た形で、z軸の周りの回転面となる。これを回転楕円面という。a=b=cのときは半径aの球面となる。

(2)二次錐面(すいめん)
 (x2/a2)+(y2/b2)-(z2/c2)=0
z軸に垂直に切ると切り口はすべて楕円である。原点を通る平面で切ると切り口はすべて2本の直線となるから、線織面(せんしきめん)である。ここで線織面とは、ある直線群が織り成す曲面をいう。

(3)一葉双曲面
 (x2/a2)+(y2/b2)-(z2/c2)=1
z軸に垂直に切ると切り口は楕円で、z軸を含む平面で切ると切り口は双曲線である。原点から遠ざかるにつれて(2)に限りなく近づいていくので、(2)をこの曲面の漸近面(ぜんきんめん)という。またこの曲面は線織面である。a=bのとき、くびれたところの近くは鼓(つづみ)に似た形で、z軸の周りの回転面となる。これを回転一葉双曲面という。

(4)二葉双曲面
 (x2/a2)+(y2/b2)-(z2/c2)=-1
z軸に垂直に切ると切り口は楕円で、z軸を含む平面で切ると切り口は双曲線である。この曲面も原点から遠ざかるにつれて(2)に限りなく近づくので、やはり(2)が漸近面となる。

(5)楕円放物面
 (x2/a2)+(y2/b2)=2z
z軸に垂直に切ると切り口は楕円で、z軸を含む平面で切ると切り口は放物線である。a=bのとき、z軸の周りの回転面で、回転放物面という。

(6)双曲放物面
 (x2/a2)-(y2/b2)=2z
原点の近くは馬の鞍(くら)とか峠に似た形で、線織面である。z軸に垂直に切ると切り口は双曲線または直線で、z軸に平行に切ると切り口は放物線または直線である。

(7)柱面 xy平面のある二次曲線を通りxy平面に垂直な直線群が織り成す曲面である。円柱(x2/a2)+(y2/a2)=1と、楕円柱面(x2/a2)+(y2/b2)=1と、双曲柱面(x2/a2)+(y2/b2)=1と、放物柱面(x2/a2)=2yの四種類であるが、このうち円柱だけが回転面である。

[高木亮一]


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改訂新版 世界大百科事典 「二次曲面」の意味・わかりやすい解説

二次曲面 (にじきょくめん)
quadric
quadratic surface

空間の直交座標(xyz)を用いて,実数係数の二次方程式Ax2By2Cz2+2Fyz+2Gzx+2Hxy+2Fx+2Gy+2HzD=0で表される曲面を総称して二次曲面という。係数AB,……,H′のとりようによっては,方程式を満たす点はまったくなかったり,方程式は1点,1直線,1平面,または2平面を表すこともあるが,これらを除けば二次曲面は,適当な直交座標系を用いれば,次の形の方程式のいずれか一つで表され,かっこ内に書いた名称で呼ばれる。

このうち(1)~(5)の曲面を固有二次曲面という(図1)。二次曲面がある点に関して対称なとき,この点を二次曲面の中心といい,中心がただ一つ存在する二次曲面を有心二次曲面という。(1)~(9)のうち,(1)~(3)と(9)が有心二次曲面である。(1),(3),(4)の曲面は直線を一つも含んでいないが,(2)と(5)~(9)の曲面は無限に多くの直線によって描かれる線織面である。これらの直線をそれぞれの曲面の母線という。とくに(2)と(5)の曲面上にはそれらを描く2組の直線族があって,同じ族の2直線は交わらず,異なった族の2直線は交わっている(図2)。
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百科事典マイペディア 「二次曲面」の意味・わかりやすい解説

二次曲面【にじきょくめん】

空間において,座標(x,y,z)の二次方程式で表される曲面。球面,楕円面双曲面放物面,二次錐面,二平面等を含む。→二次関数二次曲線
→関連項目曲面

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