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二次曲面 にじきょくめんquadrics

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

二次曲面
にじきょくめん
quadrics

空間において,座標 P(xyz)が2次方程式 ax2by2cz2+2fyz+2gzx+2hyx+2lx+2my+2nzd=0 を満足するような点全体は,二次曲面といわれる空間図形をつくる。係数はすべて任意の実数であり,その値のとり方によって,各種の二次曲面が得られる。ただし,複素変数で考えて,係数にも複素数を許した複素二次曲面を考えることもある。退化しない実二次曲面を標準方程式で示せば次のようになる。

(1) 楕円面 x2/a2y2/b2z2/c2=1
(2) 二葉双曲面 x2/a2y2/b2z2/c2=1
(3) 一葉双曲面 x2/a2y2/b2z2/c2=1
(4) 楕円 x2/a2y2/b2z2/c2=0
(5) 楕円放物面 x2/a2y2/b2-2z=0
(6) 双曲放物面 x2/a2y2/b2-2z=0
(7) 楕円柱 x2/a2y2/b2-1=0
(8) 双曲柱 x2/a2y2/b2-1=0
(9) 放物柱 x2-2py=0


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百科事典マイペディアの解説

二次曲面【にじきょくめん】

空間において,座標(x,y,z)の二次方程式で表される曲面。球面楕円面双曲面放物面,二次錐面,二平面等を含む。→二次関数二次曲線
→関連項目曲面

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世界大百科事典 第2版の解説

にじきょくめん【二次曲面 quadric】

空間の直交座標(x,y,z)を用いて,実数係数の二次方程式Ax2By2Cz2+2Fyz+2Gzx+2Hxy+2Fx+2Gy+2HzD=0で表される曲面を総称して二次曲面という。係数A,B,……,H′のとりようによっては,方程式を満たす点はまったくなかったり,方程式は1点,1直線,1平面,または2平面を表すこともあるが,これらを除けば二次曲面は,適当な直交座標系を用いれば,次の形の方程式のいずれか一つで表され,かっこ内に書いた名称で呼ばれる。

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大辞林 第三版の解説

にじきょくめん【二次曲面】

空間で、 x y z の三元二次方程式によって表される曲面。球面・楕円面・双曲面・放物面などがこれにあたる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

二次曲面
にじきょくめん

空間の直交座標x、y、zの間の二次方程式
 ax2+by2+cz2+2fyz+2gzx+2hxy
   +2lx+2my+2nz+d=0
で表される曲面を二次曲面という。座標系を適当に平行移動したり回転移動したりすれば、二次曲面は以下の七つの標準形のいずれかになる(ただし、以下のa、b、cは原式のものとは異なる)。
(1)楕円(だえん)
 (x2/a2)+(y2/b2)+(z2/c2)=1
どの平面で切っても切り口は楕円である。また、この二次曲面だけは有限の範囲に収まっている。a=bのとき、ラグビーボールまたは円盤に似た形で、z軸の周りの回転面となる。これを回転楕円面という。a=b=cのときは半径aの球面となる。
(2)二次錐面(すいめん)
 (x2/a2)+(y2/b2)-(z2/c2)=0
z軸に垂直に切ると切り口はすべて楕円である。原点を通る平面で切ると切り口はすべて2本の直線となるから、線織面(せんしきめん)である。ここで線織面とは、ある直線群が織り成す曲面をいう。
(3)一葉双曲面
 (x2/a2)+(y2/b2)-(z2/c2)=1
z軸に垂直に切ると切り口は楕円で、z軸を含む平面で切ると切り口は双曲線である。原点から遠ざかるにつれて(2)に限りなく近づいていくので、(2)をこの曲面の漸近面(ぜんきんめん)という。またこの曲面は線織面である。a=bのとき、くびれたところの近くは鼓(つづみ)に似た形で、z軸の周りの回転面となる。これを回転一葉双曲面という。
(4)二葉双曲面
 (x2/a2)+(y2/b2)-(z2/c2)=-1
z軸に垂直に切ると切り口は楕円で、z軸を含む平面で切ると切り口は双曲線である。この曲面も原点から遠ざかるにつれて(2)に限りなく近づくので、やはり(2)が漸近面となる。
(5)楕円放物面
 (x2/a2)+(y2/b2)=2z
z軸に垂直に切ると切り口は楕円で、z軸を含む平面で切ると切り口は放物線である。a=bのとき、z軸の周りの回転面で、回転放物面という。
(6)双曲放物面
 (x2/a2)-(y2/b2)=2z
原点の近くは馬の鞍(くら)とか峠に似た形で、線織面である。z軸に垂直に切ると切り口は双曲線または直線で、z軸に平行に切ると切り口は放物線または直線である。
(7)柱面 xy平面のある二次曲線を通りxy平面に垂直な直線群が織り成す曲面である。円柱(x2/a2)+(y2/a2)=1と、楕円柱面(x2/a2)+(y2/b2)=1と、双曲柱面(x2/a2)+(y2/b2)=1と、放物柱面(x2/a2)=2yの四種類であるが、このうち円柱だけが回転面である。[高木亮一]

出典|小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について | 情報 凡例

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