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判別式 ハンベツシキ

デジタル大辞泉の解説

はんべつ‐しき【判別式】

二次方程式ax2bx+c=0について、その根の種類を判別するためのDb2-4acという式。Dが正ならば二つ実根、0ならば重根、負ならば二つの虚根をもつ。

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百科事典マイペディアの解説

判別式【はんべつしき】

n次方程式a(/0)x(n/)+a1x(n/)(-/)1+…+a(/n)=0のn個の根x1,x2,…,x(/n)の差の2乗を掛け合わせた式を初めの方程式の判別式という。

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世界大百科事典 第2版の解説

はんべつしき【判別式 discriminant】

n次代数方程式f(X)=a0Xna1Xn-1a2Xn-2+……+an=0の根をα1,α2,……,αnとするとき,を方程式f(X)=0の判別式という。根と係数の関係を使って,判別式Dは方程式の係数a0,a1,……,anの多項式として表すことができる。例えば二次方程式aX2bXc=0の判別式Dは, Da21-α2)2a2{(α1+α2)2-4α1α2}  =b2-4acである。また三次方程式X3pXq=0の判別式はD=-4p3-27q2である。

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大辞林 第三版の解説

はんべつしき【判別式】

二次方程式 a x 2b x c =0 において、D b 2-4a c をこの二次方程式の判別式という。もとの方程式は D >0 ならば二つの実根、D <0 ならば二つの虚根、D =0 ならば実数の重根をもつ。三次方程式以上にも判別式がある。

出典 三省堂大辞林 第三版について 情報

日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

判別式
はんべつしき

n次方程式
  f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an=0
の解をα12,……,αnとするとき
  D=a02(n-1)12)2
    ×(α13)2……
    (α1n)2
    ×(α23)2……
    (α2n)2
    ×………………
    ×(αn-1n)2
をf(x)=0の判別式という。
 n=2でf(x)=ax2+bx+c=0のときは、二つの解をα、βとすると
  D=a2(α-β)2=b2-4ac
であり、f(x)=0の解は

と表される。
 n=3でf(x)=ax3+bx2+cx+d=0のときには、三つの解をα、β、γとして
  D=a4(α-β)2(α-γ)2(β-γ)2
   =b2c2+18abcd-4ac3-4b3d
   -27a2d2
とくにf(x)=x3+cx+dのときは
  D=-4c3-27d2
でありf(x)=0の解は

と表される。δのとり方は、三乗して

となる数を一つとり、それをδ0として、δ0ω,δ0ω2(ωは1の立方根)をつくればよいので、三つのxの値が定まる。
 有理数を係数とする既約方程式f(x)=0の解をαとし、有理数体Qにαを付加した体をQ(α)とする。f(x)=0の判別式は整数であり、その値はQ(α)の整数論的な構造に重要な意味をもっている。[寺田文行]

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世界大百科事典内の判別式の言及

【解の公式】より

…この場合は根の公式とも呼ばれる。(a)二次方程式aX2bXc=0(a≠0)の根は,Db2-4acを判別式discriminantという。D=0のときは2根が一致(重根)のときである。…

【二次方程式】より

a,b,cが整数の場合に,n/m(既約分数)が根となりうるのは,maの約数であり,ncの約数(負の約数も含める)である場合に限られる。 Db2-4acを上の二次方程式の判別式discriminantという。これを用いると二次方程式の2根は,で与えられる。…

【解の公式】より

…この場合は根の公式とも呼ばれる。(a)二次方程式aX2bXc=0(a≠0)の根は,Db2-4acを判別式discriminantという。D=0のときは2根が一致(重根)のときである。…

【二次方程式】より

a,b,cが整数の場合に,n/m(既約分数)が根となりうるのは,maの約数であり,ncの約数(負の約数も含める)である場合に限られる。 Db2-4acを上の二次方程式の判別式discriminantという。これを用いると二次方程式の2根は,で与えられる。…

※「判別式」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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