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可算集合 カサンシュウゴウ

デジタル大辞泉の解説

かさん‐しゅうごう〔‐シフガフ〕【可算集合】

自然数の集合と一対一の対応がつけられる集合。偶数の集合、整数の集合、有理数の集合など。実数全体の集合は可算集合でない。可付番集合(かふばんしゅうごう)。

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百科事典マイペディアの解説

可算集合【かさんしゅうごう】

可付番集合とも。自然数の集合と一対一の対応がつけられる集合。無限集合のうちで最も濃度が低い。整数の集合,有理数の集合は可算集合だが,実数の集合,無理数の集合は可算集合でない。
→関連項目カントル

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大辞林 第三版の解説

かさんしゅうごう【可算集合】

自然数全体と一対一の対応がつけられる、すなわち番号のつけられる集合。例えば整数の集合や有理数の集合。可付番集合かふばんしゆうごう

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

可算集合
かさんしゅうごう

そのすべての元にa0,a1,…,an,…のように、自然数によって番号をつけられる集合のことである。可付番集合ともいう。nを自然数とすると、n個の元をもつ有限集合の元には、ゼロ番目から(n-1)番目まで番号をつけられるので、有限集合も可算集合である。すべての自然数を元とする集合、すなわち自然数全体からなる集合は、無限集合であるが、この元自身を自分自身の番号と考えることができるから可算集合である。さらに、整数の全体
  …,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…
は、0,1,-1,2,-2,…,n,-n,…と並べ換えることができる。左から順に0,1,2,3,4,…番目と番号をつけ、一般にn(≧1)に(2n-1)の、-nに2n番目の番号をつけると、整数全体に自然数で番号をつけることができる。したがって整数全体の集合は可算集合である。mとnを整数としたとき、分数m/nに{(m+n)(m+n+1)/2}+mという番号をつければ、m/nの全体も可算集合である。有理数は前記の分数として表されるので、有理数の全体も可算集合である。しかし、無理数と有理数からなる実数の全体は可算集合ではない。カントルはこのことを対角線論法という証明方法によって証明した。この結果、元の個数の異なる無限集合があることがわかった。可算集合は元の個数が最小の無限集合である。可算集合でない無限集合を非可算集合という。互いに元の個数の異なる無限個の非可算集合が存在することも、カントルによって証明されている。[西村敏男]

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世界大百科事典内の可算集合の言及

【可算】より

…可付番ともいう。ある集合の元全体に1,2,3,4,……と自然数で番号をつけていくことができるとき,その集合は可算集合であるという。この定義では有限集合も許容されるが,無限集合に限定して使われる場合が多い。…

※「可算集合」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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