有限集合(読み)ゆうげんしゅうごう(英語表記)finite set

日本大百科全書(ニッポニカ)「有限集合」の解説

有限集合
ゆうげんしゅうごう
finite set

有限個の元からなる集合あるいは空集合を有限集合という。「有限」に対することばは「無限」である。有限集合でない集合を無限集合といい、有限と無限は互いに他方を否定したものである。20世紀の初頭から、有限、無限に対するたくさんの定義が与えられたが、そのなかから代表的な二つを取り上げる。有限集合Aは、ある自然数nが存在して、ちょうどn個の元を含む。これが第一の定義である。この場合、自然数の集合{0,1,2,……,n-1}のおのおのの元と、有限集合Aのおのおのの元とを、ちょうど一つずつ結び付け(一対一の対応)て、A={a0,a1,a2,……,an-1}のように書ける。次にもう一つの定義を与える。A′を、Aからいくつかの元を取り去ったAの部分集合(真部分集合)とする。たとえばA′={a1,a2,……,an-1}とする。このとき、Aのおのおのの元にA′のおのおのの元を一対一で対応させることはできない。このように、「自分自身のいかなる真部分集合とも一対一の対応をつけることができない集合を有限集合という」。これらの二つの定義は同値のようにみえる。しかし、これらの同値を証明するには、20世紀初頭に、初めてツェルメロによって集合論に導入された選択公理を用いなければならない。選択公理は、集合論の内外で、数学の理論を展開するためのきわめて重要な役割を果たしているが、数学の証明にこれを用いることについては、今日でもなお種々の議論がある。

[西村敏男]

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典「有限集合」の解説

有限集合
ゆうげんしゅうごう
finite set

元の個数が有限である集合をいう。有限集合は,そのいかなる真部分集合とも対等になりえない。 (→無限集合 )

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精選版 日本国語大辞典「有限集合」の解説

ゆうげん‐しゅうごう イウゲンシフガフ【有限集合】

〘名〙 数学で、元の個数が有限である集合。一から一〇〇までの素数の集合などはその例である。

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世界大百科事典内の有限集合の言及

【集合】より

…集合Mの濃度は,♯(M),|M|,CardMなどの記号で表されるが,それは次のように定義される。(1)Mが有限個の元しかもたないとき,Mは有限集合と呼ばれ,♯(M)はMの元数であると定める。このような濃度を有限の濃度という。…

※「有限集合」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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