一次独立（読み）いちじどくりつ（その他表記）linearly independent

改訂新版　世界大百科事典

一次独立 (いちじどくりつ)
linearly independent

空間のベクトルa₁，a₂，a₃が同一平面上にないとき，α₁a₁＋α₂a₂＋α₃a₃＝0（α_i:実数）ならば，α₁＝α₂＝α₃＝0となる。一般にある空間のn個のベクトルa₁，……，a_nについて，α₁a₁＋α₂a₂＋……＋α_na_n＝0（α_i:実数）ならば必ずα₁＝α₂＝……＝α_n＝0となるとき，a₁，……，a_nは一次独立であるという。n＝1ならa₁≠0ということであり，n＝2ならa₁とa₂が同一直線上にないということである。この概念を一般化して，線形空間Vの元x₁，……，x_nについて，一次独立をα₁x₁＋……＋α_nx_n＝0（α_i:スカラー，α₁＝……＝α_n＝0）で定義する。x₁，……，x_nが一次独立でないとき，一次従属linearly dependentであるという。Vの元y₁，……，y_mがあって，Vの任意の元xがy₁，……，y_mの一次結合で書ける，すなわちx＝β₁y₁＋……＋β_my_mと表せるとき，Vは有限次元であるといい，さらにy₁，……，y_mが一次独立であるとき，それらをVの基底basisと呼ぶ。基底は必ず存在し，その数mは基底の選び方によらず一定である。このmをVの次元という。Vが有限次元でないとき，Vは無限次元であるといい，同じように基底の存在がいえる。このときも基底の集合としての濃度は基底の選び方にかかわらず一定である。
執筆者：丸山 正樹

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

1次独立
いちじどくりつ
linearly independent

ベクトル x₁，x₂，…，x_n を座標系として，その1次結合で部分空間を張るとき，x₁，x₂，…，x_n の間にむだがなく，ちょうど n 次元になるとき1次独立といい，この間に1次的な関係の意味で重なりがあるとき，1次従属 linearly dependentという。 x₁，x₂，…，x_n を，体 K 上のベクトル空間 V の元とするとき，K の元 a₁，a₂，…，a_n による1次結合

y＝a₁x₁＋a₂x₂＋…＋a_nx_n

という表現の a₁，a₂，…，a_n が一意的な場合が1次独立，そうでない場合が1次従属である。これは，y が 0 のときだけいえばよく，すなわち

a₁x₁＋a₂x₂＋…＋a_nx_n＝0

について，a_i のうち0でないものがあって，1次的な関係があるというのが1次従属である。これは，そのときの x_i がほかのベクトルの1次結合で表わされて，いわばむだになっていることを意味する。

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一次独立【いちじどくりつ】

n個のベクトルe₁，e₂，……，e(/n)がスカラーc₁，c₂，……，c(/n)について　c₁e₁＋c₂e₂＋……＋c(/n)e(/n)＝０となるのはc₁＝c₂＝……＝c(/n)＝０のときに限るならば，これらのベクトルは一次独立であるという。そうでないときは一次従属であるという。n次元空間では一次独立なn個のベクトルの組があり，n＋１個以上のベクトルは必ず一次従属である。
→関連項目次元（数学）

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