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一般解 いっぱんかいgeneral solution

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

一般解
いっぱんかい
general solution

一般にが一意的に定まらない場合,特に微分方程式の解に関して多く用いられるが,三角方程式や連立1次方程式の解についても使うことがある。 (1) 最も簡単な微分方程式 y'=f(x) の解の全体は,
で与えられる。これと同様に,1階の常微分方程式の一般の場合にも,1つの任意定数を含む解が得られ,1つの解としては定まらない。このような解を微分方程式の一般解という。一般に,n 階の常微分方程式では n 個の独立な任意定数を含む解をその一般解と呼ぶ。この一般解は曲線の集合をつくる。ここで n 個の独立な任意定数とは,n-1 個以下の任意定数では,同じ曲線の集合を表わせないような,任意定数の1組を意味する。 (2) 1階の偏微分方程式 F(xyu,∂u/∂x,∂u/∂y)=0 を考える。ここで xy は独立変数,u は未知関数,∂u/∂x ,∂u/∂y はそれぞれ1階の偏導関数である。この微分方程式の完全解は2つの任意定数 ab を含む関数族 の形で表わされる。この完全解から他の解も簡単に得られる。すなわち ba のある関数 b=ω(a) とすると, の形の曲面の集合が得られ,この全体を上の偏微分方程式の一般解と呼ぶ。 (3) 周期関数である三角関数を含んだ三角方程式の解は,求める解の値を一般解で表わす必要がある。それゆえ三角方程式 sin xa , cos xa , tan xa の解はただ1つには定まらず,それぞれ xnπ+(-1)nα ,x=2nπ±α ,xnπ+α ( α は方程式を満足する最小の正の角をとる。 n は任意の整数) が,与えられた方程式の解となる。個々の解は,n に特定の値を与えて得られるので,以上の解を一般解という。三角不等式についても同様である。 (4) 連立1次方程式の個数が未知数の個数より少いとき,または係数行列の階数が低下しているときには,その解は一意的でなく,いくつかの助変数を含む1次式で与えられ,助変数の値を定めるごとに個々の解が得られる。これを与えられた連立1次方程式の一般解という。以上の4つの例において,任意定数,nc にある特定の値を与えて得られる解を,それらの方程式の特殊解という。

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大辞林 第三版の解説

いっぱんかい【一般解】

方程式などの解に任意の定数を含むもの。

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