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上界 じょうかいupper bound

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

上界
じょうかい
upper bound

順序集合 M の部分集合,たとえば,ある実数の集合 A に対し,xA ならば常に xa となるような M の元 a が存在するとき,これを A の上界という。つまり,A のすべての元を上から押える数のことである。常に ax となるような M の元 a は,下界といわれる。少くとも1つの上界 (あるいは下界) をもつ A を,上に有界な (あるいは下に有界な) 集合という。 M に上界 (あるいは下界) があれば,これを最大元 (あるいは最小元) と呼び,maxM (あるいは minM ) と書く。

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デジタル大辞泉の解説

じょう‐かい〔ジヤウ‐〕【上界】

仏語。
㋐天上の世界。天上界。下界に対していう。
㋑色界と無色界。欲界に対していう。
数学で、実数の集合のどの数よりも小でない数。

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世界大百科事典 第2版の解説

じょうかい【上界 upper bound】

実数からなる集合Eがあって,Eに属するどの数もある数aより大きくないとき,aEの上界であるという。aが集合Eの上界であれば,aより大きい数はすべてEの上界である。上界が存在するときEは上に有界boundedであるという。上界が存在しなければ,Eはいくらでも大きい数を含む。上界と同様に大小関係を逆にして,下界lower boundも定義される。上界も下界も存在するとき単に有界であるという。Eの各元の符号をかえたものの集合{-xxE}を-Eと書くことにすると,aEの上界であれば-aは-Eの下界である。

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大辞林 第三版の解説

じょうかい【上界】

〘仏〙 人間の住む世界よりも優れた世界。諸天の世界。また、特に欲界に対する色界と無色界。 ↔ 下界
〘数〙 実数の集合があるとき、その集合に属するどの数よりも小さくない数。 ↔ 下界かかい上限

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