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完全数 かんぜんすうcomplete number

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

完全数
かんぜんすう
complete number

ギリシアのニコマコスの頃から考えられ,ユークリッドによって名づけられた数である。完全数というのは,6=3+2+1,28=14+7+4+2+1 などのように,その数の約数 (自分自身は除く) の総和が自分自身に等しくなる数のことで,一般的にいえば,自然数 c の,c 自身を除く約数の総和が c に等しくなる数である。 28の次の完全数は 496。またスイスに生れたアメリカの数学者 F.カジョリはそれに続けて,8128,33550336,8589869056,137438691328,2305843008139952128の5数をあげた。ユークリッドは『原本』に,もし 2p-1 が素数ならば,2p-1(2p-1) は完全数である,と記述している。逆に偶数の完全数はこの形に限ることを,L.オイラーが証明した。

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知恵蔵の解説

完全数

nを自然数とし、n以外の約数の和がnになる時、nを完全数という。6の約数は自分自身を除くと1、2、3で、6=1+2+3となるから6は最小の完全数。その次に小さい完全数は28。奇数の完全数は1つも知られていない。m、nを2つの自然数とする時、mのm以外の約数の和がnになり、nのn以外の約数の和がmになるとき、mとnを友愛数という。220と284は友愛数。小川洋子著『博士の愛した数式』でこれらの数が用いられた。小泉尭史監督による映画化も話題になった。

(桂利行 東京大学大学院教授 / 2007年)

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デジタル大辞泉の解説

かんぜん‐すう〔クワンゼン‐〕【完全数】

自然数aで、a以外の約数(1を含む)の和がaに等しいとき、aを完全数という。例えば、6の約数は、「1」「2」「3」の三つで、その合計が1+2+3=6 であるから、6は完全数。そのほかに、28、496、8128、33550336、8589869056などが見つかっている。→過剰数不足数友愛数
[補説]完全数は、連続した自然数の和で表すことができる。
6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
496=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31

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百科事典マイペディアの解説

完全数【かんぜんすう】

自然数nの,n以外のすべての約数(1を含む)の和がnに等しいとき,nを完全数という。たとえば6=1+2+3,28=1+2+4+7+14。n=2(p/)(-/)1(2(p/)−1)で2(p/)−1が素数ならnは完全数で,逆に偶数の完全数はこの形に限る(オイラーの証明)。

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世界大百科事典 第2版の解説

かんぜんすう【完全数 perfect number】

自然数nで自分より小さい正の約数の和がnに等しいとき,nを完全数という。例えば,28の約数は28,14,7,4,2,1で28を除いた約数の和(14+7+4+2+1)は28となるから28は完全数である。古代ギリシアのピタゴラス学派が完全数と命名し,ユークリッドの《ストイケイア》にも登場している。《ストイケイア》ではp=2k-1が素数であればn=2k-1(2k-1)は完全数であることが証明されており,逆に偶数の完全数はすべてこの形に表されることはオイラーが示した。

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大辞林 第三版の解説

かんぜんすう【完全数】

〘数〙 自然数でその数以外の約数( 1 を含む)の和が、もとの数になるような自然数。例えば 6(=1+2+3), 28(=1+2+4+7+14)など。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

完全数
かんぜんすう

自然数nの約数の和S(n)が2nとなるとき、nは完全数であるといわれる。たとえば、6や28は完全数である。なぜなら
  2・6=1+2+3+6
  2・28=1+2+4+7+14+28
だからである。S(n)が2nより大きいときは過剰数、S(n)がnより小さいときは不足数とよばれる。
 ユークリッドの『ストイケイア』第9巻の命題36に次のように完全数の記述がある。「もし単位から始まり順次に1対2の比をなす任意個の数が定められ、それらの総和が素数になるようにされ、そして全体が最後の数に掛けられてある数をつくるならば、その積は完全数であろう」。つまり、
  1+2+22+……+2n-1=2n-1
が素数ならばN=2n-1(2n-1)は完全数である。逆に、ある偶数Nが完全数ならば
  N=2n-1(2n-1)
の形で、2n-1は素数であるが、これはオイラーによって証明された。
 奇数の完全数はみつかっていない。また、偶数の完全数が無数にあるかどうか、つまり2n-1の形の素数が無数にあるかどうかは現在でも知られていない。[足立恒雄]

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世界大百科事典内の完全数の言及

【数】より

…火と水の結合,結婚,処女性,秤,キリスト教では天地創造の終りを示す完成の数である。これは6が完全数であることに由来するともいわれる。 7は奇跡,秘宝などを意味し,世界の七不思議,七色の虹など神秘的な数とされている。…

【整数論】より

…また0,±1以外の整数aは,と,素数の積にただひととおりに素因数分解できる。
[完全数,親和数]
 正の整数aに対して,aのすべての正の約数の和をs(a)で表すことにする。例えば,s(6)=1+2+3+6=12である。…

※「完全数」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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