デジタル大辞泉 「完全数」の意味・読み・例文・類語
かんぜん‐すう〔クワンゼン‐〕【完全数】
[補説]完全数は、連続した自然数の和で表すことができる。
6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
496=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31
自然数nで自分より小さい正の約数の和がnに等しいとき,nを完全数という。例えば,28の約数は28,14,7,4,2,1で28を除いた約数の和(14+7+4+2+1)は28となるから28は完全数である。古代ギリシアのピタゴラス学派が完全数と命名し,ユークリッドの《ストイケイア》にも登場している。《ストイケイア》ではp=2k-1が素数であればn=2k⁻1(2k-1)は完全数であることが証明されており,逆に偶数の完全数はすべてこの形に表されることはオイラーが示した。p=2k-1の形の素数はメルセンヌ数Mersenne numberと呼ばれる。例えばkが2,3,5,7,13,17のときpは素数であり,対応する完全数は6,28,496,8128,33550336,8589869056である。さらにkが19,31,61,89,107,127,521のときも完全数である。コンピューターによって近年大きな完全数が見いだされている。例えば244496(244497-1)は完全数である。奇数の完全数は一つも知られていない。ただし,4l+3の形の完全数は存在しないことが知られている。また完全数が無限に存在するかどうかもわかっていない。
執筆者:上野 健爾
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報
自然数nの約数の和S(n)が2nとなるとき、nは完全数であるといわれる。たとえば、6や28は完全数である。なぜなら
2・6=1+2+3+6
2・28=1+2+4+7+14+28
だからである。S(n)が2nより大きいときは過剰数、S(n)がnより小さいときは不足数とよばれる。
ユークリッドの『ストイケイア』第9巻の命題36に次のように完全数の記述がある。「もし単位から始まり順次に1対2の比をなす任意個の数が定められ、それらの総和が素数になるようにされ、そして全体が最後の数に掛けられてある数をつくるならば、その積は完全数であろう」。つまり、
1+2+22+……+2n-1=2n-1
が素数ならばN=2n-1(2n-1)は完全数である。逆に、ある偶数Nが完全数ならば
N=2n-1(2n-1)
の形で、2n-1は素数であるが、これはオイラーによって証明された。
奇数の完全数はみつかっていない。また、偶数の完全数が無数にあるかどうか、つまり2n-1の形の素数が無数にあるかどうかは現在でも知られていない。
[足立恒雄]
出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について 情報
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(桂利行 東京大学大学院教授 / 2007年)
出典 (株)朝日新聞出版発行「知恵蔵」知恵蔵について 情報
…火と水の結合,結婚,処女性,秤,キリスト教では天地創造の終りを示す完成の数である。これは6が完全数であることに由来するともいわれる。 7は奇跡,秘宝などを意味し,世界の七不思議,七色の虹など神秘的な数とされている。…
…また0,±1以外の整数aは,と,素数の積にただひととおりに素因数分解できる。
[完全数,親和数]
正の整数aに対して,aのすべての正の約数の和をs(a)で表すことにする。例えば,s(6)=1+2+3+6=12である。…
※「完全数」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
出典|株式会社平凡社「世界大百科事典(旧版)」
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