ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
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(桂利行 東京大学大学院教授 / 2007年)
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自然数nの約数の和S(n)が2nとなるとき、nは完全数であるといわれる。たとえば、6や28は完全数である。なぜなら
2・6=1+2+3+6
2・28=1+2+4+7+14+28
だからである。S(n)が2nより大きいときは過剰数、S(n)がnより小さいときは不足数とよばれる。
ユークリッドの『ストイケイア』第9巻の命題36に次のように完全数の記述がある。「もし単位から始まり順次に1対2の比をなす任意個の数が定められ、それらの総和が素数になるようにされ、そして全体が最後の数に掛けられてある数をつくるならば、その積は完全数であろう」。つまり、
1+2+22+……+2n-1=2n-1
が素数ならばN=2n-1(2n-1)は完全数である。逆に、ある偶数Nが完全数ならば
N=2n-1(2n-1)
の形で、2n-1は素数であるが、これはオイラーによって証明された。
奇数の完全数はみつかっていない。また、偶数の完全数が無数にあるかどうか、つまり2n-1の形の素数が無数にあるかどうかは現在でも知られていない。
[足立恒雄]
出典 精選版 日本国語大辞典精選版 日本国語大辞典について 情報
…火と水の結合,結婚,処女性,秤,キリスト教では天地創造の終りを示す完成の数である。これは6が完全数であることに由来するともいわれる。 7は奇跡,秘宝などを意味し,世界の七不思議,七色の虹など神秘的な数とされている。…
…また0,±1以外の整数aは,と,素数の積にただひととおりに素因数分解できる。
[完全数,親和数]
正の整数aに対して,aのすべての正の約数の和をs(a)で表すことにする。例えば,s(6)=1+2+3+6=12である。…
※「完全数」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
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