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ガロアの理論 ガロアのりろんGalois theory

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ガロアの理論
ガロアのりろん
Galois theory

一般の n 次方程式は,n≦4 のとき代数的に解けるが,n≧5 の場合は代数的に解けない。これを初めて証明したのは N.アーベルである。しかし,ここでは,根号による一般的な解の公式が存在しないことを述べているだけであった。これに対し E.ガロアは,アーベルとは独立に「ガロアの理論」を創始して,それに決定的な解答を与えたのである。その方法の根幹は,根の間の置換群と数拡大体との間にある密接な関係をとらえることにあった。この用語を拡張して,線形常微分方程式とそのモノドロミー群の間の類似の双対関係をも,ガロアの理論と呼ぶことがある。

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世界大百科事典 第2版の解説

ガロアのりろん【ガロアの理論 Galois theory】

ガロア理論ともいう。高次方程式の解法に関する研究に伴って,18世紀後半に根の性質の解明が進み,1820年代に入ってから,É.ガロアが〈方程式の根をつけ加えた体〉および今日の言葉で〈方程式のガロア群〉と呼ばれるものを考え,部分群と部分体との対応を示した。その結果は,19世紀末ごろJ.W.デデキント,1910年シュタイニッツErnst Steinitz(1871‐1928)によって有限次代数拡大体の場合に一般化され,また,28年にはクルルWolfgang Krull(1899‐1976)が位相群の概念を利用して,無限次代数拡大の場合に一般化した。

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世界大百科事典内のガロアの理論の言及

【代数学】より

…ガウスを含む何人かの人々により複素数の体系が確立したことは,その後の数学の発展に非常に大きい貢献をした。 高次方程式の解法究明の過程でガロアの理論が生まれ,群の概念を生じ,さらに抽象的な体,環が定義されて抽象代数学の発生へと進んだのは19世紀後半から20世紀前半にかけてのことである。
[古典代数学の対象]
 古典代数学は,一つまたは多くの未知数の間の加減乗除による関係式から未知数の値を求めること,すなわち,代数方程式あるいは多元連立方程式を解くことにその中心がある。…

※「ガロアの理論」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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