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多元環 たげんかんhypercomplex system; algebra

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

多元環
たげんかん
hypercomplex system; algebra

線形環ともいう。訳さずにアルジェブラということもある。単位元をもつ環を R ,アーベル群を G とし,演算としては,G 内の加法以外に,R の元と G の元との間に乗法が定義されているものとする。このとき G が,
(1) aRvG に対して avG
(2) aRv1v2G に対して
  a(v1v2)=av1av2
(3) a1a2RvG に対して
  (a1a2)va1va2v
(4) a1a2RvG に対して
  (a1a2)va1(a2v)
という4条件を満たせば G は線形加群 (ベクトル空間) となる。ここでさらに任意の元 v1v2v3G に対して,条件
(5) 結合法則 (v1v2)v3v1(v2v3)
(6) 分配法則 v1(v2v3)=v1v2v1v3
  (v2v3)v1v2v1v3v1
(7) aRv1v2G に対して
  (av1)v2v1(av2)
を満足するような乗法を定義することができれば,G は環になる。この環 G のことを,環 R の上の多元環という。 R の代りに体をとることも多いが,必ずしも体である必要はない。多元環の元のことを多元数という。

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世界大百科事典 第2版の解説

たげんかん【多元環 algebra】

実数を係数とする二次の正方行列全体をAで,また実数全体をKで表すと,次の(1)(2)が成り立っている。(1)AK上の加群である。すなわち,Aの二つの元の和が定義されていて,それについてAはアーベル群(可換群)であり,Kの元λとAの元aの積λa(スカラー倍)が定まっていて次の(イ)~(ハ)の性質をもつ。 (イ)λ(ab)=λa+λb (ロ)λ12a)=(λ1λ2)a (ハ)1・aa(2)Aの二つの元a,bの積abが定義されていて,()~(ニ)の性質をもつ。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

多元環
たげんかん

環Rがあり、それが可換体k上の有限次元のベクトル空間にもなっていて
  (*) λ∈k,a,b∈R
のとき
  λ(ab)=(λa)b
が成り立つとき、Rを可換体k上の多元環という。手近な例としては、実数体k上の二次の行列全体M2を考えるとよい。M2は環であり、一方、実数λを行列Aに掛けることも定義されている。M2は実数体上の四次元のベクトル空間であり、特性(*)も成り立っている。実数体k上のn次の行列全体Mnも同様である。また別の手近な例としては、複素数の全体Cを考えればよい。Cは実数体k上の二次元ベクトル空間である。二次の行列全体M2の場合には、M2は体ではないが、複素数の全体は体である。
 多元環が体であるとき、多元体とよばれる。多元体として有名な例はハミルトンの四元数体である。複素数を記号iにi2=-1という演算を設けてa+bi(a、bは実数)と表される数として定義したように、記号i、j、kに
  i2=j2=k2=-1, ij=-ji=k,
   jk=-kj=i, ki=-ik=j
という演算を設け
  a+bi+cj+dk (a,b,c,dは実数)
と表される数を定義する。これをハミルトンの四元数という。ハミルトンの四元数の全体は実数体k上の四次元の多元体である。複素数が実数を拡張した新しい数であるように、ハミルトンの四元数は複素数をさらに拡張した新しい数である。しかし乗法は非可換であることに注目したい。それでは、この四元数をさらに拡張して、多元体をつくることはできないか。興味あることに、もはやそれはできない。すなわち「実数体上の(有限次元の)多元体は、実数体、複素数体、四元数体に限ること」が証明されている。[寺田文行]

出典 小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について 情報 | 凡例

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