改訂新版 世界大百科事典 「リーマン面」の意味・わかりやすい解説
リーマン面 (リーマンめん)
Riemann surface
複素一次元解析多様体のことである。すなわち，連結なハウスドルフ空間Sにおいて，開集合Uの族による被覆と，各Uから複素平面の開集合の上への位相写像φu（これを局所座標という）で，U∩V≠φのときφu◦φv⁻1が正則関数となっているものをいっしょに考えたものである。
Sの上の複素数値関数fは，各局所座標に対してf◦φu⁻1が，通常の意味の正則関数となっているとき，Sで正則であるという。1851年，G.リーマンは学位論文において，多項式Fの定める代数方程式F（z，w）＝0を解いて得られる多価関数w＝w（z）（代数関数という）を研究するに際し，複素平面上に何葉かの重なりあった面を考えて，その上でw（z）が1価となるようにした。
図はw2－z＝0に対応するリーマン面の一部である。中央の点は原点z＝0で，このシートのつながり方は次のようになっている。すなわち，上のシートで原点を正の向きにまわると，継目から下のシートに入り，そこで原点をさらにまわると継目から再び上のシートに出てくる。
リーマンは，このような面の位相的性質と代数関数の性質との関係を研究した。K.ワイヤーシュトラスは，解析接続による解析関数を導入して，多価関数を扱う方法を与え，リーマンと同じころ，代数関数を研究した。この解析関数も，複素平面をおおう一つの面と考えることができる。
このように，平面以外のところで正則関数を考えるための土台がリーマン面なのである。これらを抽象して，初めに述べた定義を与えたのは，C.ワイルである。現在では，この定義がふつう用いられ，リーマン面は複素一次元解析多様体の別称にすぎなくなった。コンパクトなリーマン面は，閉リーマン面と呼ばれる。リーマン自身が扱ったのは，これであって，研究には関数論的・代数的・代数幾何的方法などがある。コンパクトでないリーマン面は開リーマン面といい，現代の関数論の研究対象の一つになっている。
執筆者：及川 廣太郎
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報