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ポアンカレ予想(読み)ポアンカレよそう(英語表記)Poincaré conjecture

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ポアンカレ予想
ポアンカレよそう
Poincaré conjecture

1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレが提唱した位相幾何学(→トポロジー)における予想。「コンパクトで単連結な 3次元多様体は 3次元球面と同相である」という予想で,すでに証明されている。同相とは連続的な変形で移り合うという位相の概念で,厳密には一方から他方への連続な一対一写像で逆写像も連続であるものが存在するということである(→位相同形)。3次元多様体は局所的には 3次元ユークリッド空間と同相になるような図形である。単連結とはその図形上の任意の閉曲線が連続的な変形で 1点に縮むことを意味する。コンパクトとは,どのような点列をとっても,その適当な部分列をとるとある点に収束するようにできるという性質である。2次元の場合は,閉曲面の分類定理に従う。つまり,単連結な閉曲面は球面と同相である。一般に n+1次元ユークリッド空間において原点からの距離が 1であるような点の集合を n次元球面と呼ぶ。ポアンカレ予想は一般の次元では「n次元球面とホモトピー同値であるようなコンパクトn次元多様体は n次元球面と同相である」と定式化される。一般化されたポアンカレ予想は 1960年にアメリカ合衆国の数学者スティーブン・スメールによって 5次元以上の場合に解決された。4次元の場合は 1983年にアメリカの数学者マイケル・H.フリードマンによって解かれた。元来のポアンカレ予想である 3次元の場合は 2002年にロシアの数学者グリゴリー・ペレリマンがリッチフローと呼ばれる微分幾何学の手法を用いて解決した。2000年にアメリカのクレイ数学研究所が数学の七つの未解決問題をミレニアム問題として提出し,それぞれの問題に 100万ドルの懸賞金をかけた。ポアンカレ予想はこれらの問題の一つとしてあげられていた。ペレリマンは懸賞金の受け取りを辞退している。

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知恵蔵の解説

ポアンカレ予想

図形の、連続的な変形によって不変な性質を研究する幾何学の分野をトポロジーという。多様体が主な研究対象。多様体上に縄をかけ、その両端を持っていつでも縄を手繰り寄せられるとき、その多様体は単連結であるという。1904年、フランスの数学者ポアンカレ(H.Poincar(e))は「単連結な3次元閉多様体は連続変形によって3次元球面になる」と予想した。2003年に、ロシアのペレルマン(G.Perelman)が肯定的に解決した模様。06年にフィールズ賞が授与されたが、辞退した。正解が確定すれば、クレイ数学研究所(米国)が00年に提示した懸賞問題(ミレニアム賞)解決の最初の例になる見込み。

(桂利行 東京大学大学院教授 / 2007年)

出典 (株)朝日新聞出版発行「知恵蔵」知恵蔵について 情報

朝日新聞掲載「キーワード」の解説

ポアンカレ予想

フランスの数学者、哲学者であるアンリ・ポアンカレ(1854〜1912)が1904年に出した幾何学に関する予想。例えば、ピンポン球とおむすびは同じものに分類するが、ドーナツのように穴の開いたものは別に分ける、といった具合に多次元の空間の形を分類するための、ある条件を提示した。4次元以上では証明されたものの、3次元だけは未解決のまま残っていた。米国人実業家がつくったクレイ数学研究所は00年5月、ポアンカレ予想を含む「21世紀を象徴する難問7題」を「ミレニアム問題」として発表、1問につき100万ドルの賞金をかけた。この中で解けたと認定されたものはまだない。

(2006-08-22 朝日新聞 夕刊 1総合)

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デジタル大辞泉の解説

ポアンカレ‐よそう〔‐ヨサウ〕【ポアンカレ予想】

フランスの数学者ポアンカレが提起した予測で、「単連結な三次元閉多様体は三次元球面S3に同相である」というもの。ミレニアム問題の一。1904年に発表されて以来未解決であったが、2003年にロシアの数学者グレゴリー=ペレルマンが証明した。

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大辞林 第三版の解説

ポアンカレよそう【ポアンカレ予想】

ポアンカレが提出した「基本群が単位元のみからなる三次元閉多様体は三次元球面と同相である」という予想。2003年ロシアのぺレルマン(Grigori Perelman)によって証明された。

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