位相幾何学(読み)いそうきかがく

百科事典マイペディアの解説

位相幾何学【いそうきかがく】

トポロジーとも。幾何学的図形(空間)の位相的性質を研究する幾何学の部門。空間AからBへの写像が一対一,連続で,BからAへの逆写像も連続なとき,この写像を位相写像,AとBを同位相であるといい,位相写像で不変な性質,つまり同位相の空間に共通する性質を位相的性質という。位相幾何学の古典的問題としては,多面体のオイラーの定理ケーニヒスベルクの橋の問題,地図の四色(ししょく)問題などがある。→位相空間位相数学数学
→関連項目幾何学曲面三体問題トポロジー一筆書き結び目理論メービウスの帯

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世界大百科事典 第2版の解説

いそうきかがく【位相幾何学 topology】

トポロジーともいう。図形を構成する点の連続的位置関係のみに着目する幾何学。
同相と同位]
 点相互の連続的位置関係を変えることなく,互いに変形して重ね合わすことができる二つの図形は同じ図形とみなされ,互いに同相であるという。図形がゴムで作られていると考えよう。図形は伸び縮みの変形ができるが,この図形を切り裂いたり重ね合わせたりせずに,伸び縮みだけで変形した図形は元の図形に同相である。さらに,図形の一部分を切り離して,伸縮変形をした後に,再び切り離した部分をもとどおりにはり合わせても,図形上の点相互の連続的位置関係が保たれるので,同相な図形が得られる。

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大辞林 第三版の解説

いそうきかがく【位相幾何学】

長さ・大きさなどの量的関係を無視し、図形相互の位置、つながり方などを、連続的に変形させて、その図形の不変な性質を見つけたり、またそのような変形のもとでどれほど異なる図形があるかを研究する幾何学。すなわち、図形の位相的性質を研究する幾何学。スイスの数学者オイラーの一筆がきの研究などから始まる。トポロジー。

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世界大百科事典内の位相幾何学の言及

【位相】より

…(1)数学用語。トポロジーtopologyともいう。数学において極限や連続の概念は中心的役割を演ずるが,これらの概念は実数の集合や平面上の点集合については“近さ”とか“近づく”といった概念を用いて定義される。…

【幾何学】より

…そこで,同相写像によって変わらないような性質を研究する幾何学というものが考えられる。トポロジーtopologyはこのような研究を主目的とする数学であって,位相幾何学と訳されているように,この幾何学では図形の位置や形相に関した性質で,点の連続性にのみ依存する性質が扱われる。位相幾何学は位置解析学analysis situsという名称でG.W.ライプニッツによって予見されていたが,具体的な業績はオイラーによって初めて与えられた。…

【トポロジー】より

…集合上に〈近さ〉とか〈近づく〉といった概念で表される構造が与えられると,その集合上で極限や連続について論ずることができるが,このような構造をトポロジー(訳して位相)と呼ぶ。また,この構造が内容や方法上で問題となる数学のことを広くトポロジー(訳して位相数学)と呼ぶこともあるが,ふつうはもっと狭く,図形の位置や形状に関する性質で,図形を構成する点の連続性にのみ依存するものを研究の対象とする数学のことをトポロジー(訳して位相幾何学)と呼ぶ。…

【幾何学】より

…なお,リーマン空間では長さを不変にする変換は一般に恒等変換しかないから,リーマン幾何学はクラインの意味での幾何学とはいえず,リーマン幾何学の発展はエルランゲン・プログラムの思想に破綻(はたん)を生ぜしめた。
[位相幾何学]
 先に,ユークリッド幾何学,射影幾何学では,それぞれ合同変換,射影変換によって変わらないような幾何学的性質が研究されると述べたが,合同変換や射影変換よりはるかに一般的なものに位相変換または同相写像と呼ばれるものがある。これは二つの図形の間の1対1対応で,それおよびその逆写像が連続となるようなものである。…

【トポロジー】より

…集合上に〈近さ〉とか〈近づく〉といった概念で表される構造が与えられると,その集合上で極限や連続について論ずることができるが,このような構造をトポロジー(訳して位相)と呼ぶ。また,この構造が内容や方法上で問題となる数学のことを広くトポロジー(訳して位相数学)と呼ぶこともあるが,ふつうはもっと狭く,図形の位置や形状に関する性質で,図形を構成する点の連続性にのみ依存するものを研究の対象とする数学のことをトポロジー(訳して位相幾何学)と呼ぶ。リスティングJ.B.Listingは1847年に著書《Vorstudien zur Topologie》を出版し,トポロジーということばを使っているが,この数学の実質的創始者であるH.ポアンカレは,この数学をanalysis situs(位置解析学)と呼び,長らくこのことばが使われていた。…

※「位相幾何学」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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