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命題論理学 めいだいろんりがくpropositional logic

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

命題論理学
めいだいろんりがく
propositional logic

現代論理学で複合命題とその相互関係を記号により体系化し,主としてその真偽命題の真偽を真理値という)を研究する分野。述語論理学が命題の主語-述語の関係などの内部構造を分析するのに対して,命題論理学はこれに立ち入らず,要素命題を最終的な単位として取り扱う。p,qなどで表される要素命題と,否定(¬),連言(∧),選言(∨),含意(⊃)などの論理演算子を組み合わせて記号列が得られる。一定の定義に従う記号列を論理式というが,式中の要素がいかなる真理値でも式全体が必ず真なるときトートロジー(逆は矛盾式)と呼び,トートロジーのすべてを導出する一連の公理を公理体系といい,さまざまな体系が考えられている。ある体系内で任意の論理式 Aについて,Aと¬Aが同時に証明されないとき,この体系は無矛盾であり,すべてのトートロジーが証明可能のとき,完全であるという。

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世界大百科事典 第2版の解説

めいだいろんりがく【命題論理学 propositional logic】

論理的に不可分な意味の単位として命題(事実を記述し,真ないし偽の値をとることができる文)を考え,命題相互の論理関係を主題とする科学。現代論理学の最も基礎的な部分を構成する。
[命題論理のコトバ
 1個の命題に付け加わり,あるいは2個の命題を結合することによって新たな命題を作るコトバを(命題論理の)論理語と呼ぶ。ふつう命題論理学が選ぶ論理語は,〈……でない〉〈……そして……〉〈……または……〉〈……ならば……〉の4個である。

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大辞林 第三版の解説

めいだいろんりがく【命題論理学】

命題の内部構造にまでは立ち入らず、要素となる命題を否定・連言・選言・含意・等値によって結合して得られる複合命題の真偽や推論形式の妥当性を調べる論理学の基礎的分野。ここで最小単位とされた命題の内部構造にまで分析を進めると、述語論理学へと発展する。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

命題論理学
めいだいろんりがく
propositional logic

現代論理学のなかで、連言記号と否定記号だけを使って表現できる推論の形式を扱う分野。たとえば、
 AならB
 A
 ゆえにB
という、伝統的論理学の時代に「仮言三段論法」とよばれた推論も、命題論理学の守備範囲に入る。なぜなら、
 AならB
は、くどくなるのをいとわなければ
 (Aで(Bではない))ではない
といいかえることができるが、このいいかえた形は、「で」にあたる連言記号「∧」と、「ではない」にあたる否定記号「¬」を使って、
 ¬(A∧(¬B))
と表すことができるからである。この例から察せられるように、伝統的論理学の仮言三段論法は、命題論理学にすべて吸収できる。また、
 AかB
 Aではない
 ゆえにB
を一例とする選言三段論法も、命題論理学に吸収できる。定言三段論法は、述語論理学に吸収するのが自然であるが、記号の解釈を変えることにより、命題論理学のなかに吸収することもできる。つまり、伝統的論理学の行った推論の形式の整理分類は、すべて命題論理学に吸収できるのである。
 また、記号を論理素子に対応させれば、命題論理学は、コンピュータの論理設計について述べているものと解釈することができる。神経のシナプスの働きが論理素子の働きと同様なものと考えられる限りでは、神経網の論理的モデルをつくるのに命題論理学の成果を利用することもできる。
 次に、たとえば、
 (AでAではない)ではない
という形式の当てはまる命題はすべて正しいので、この形式は論理的に正しいものであるという。命題論理学の記号だけで書かれた形式には、それがどんなに長くても、どんなに入り組んでいても、論理的に正しいかどうかを機械的に決める方法、いわゆるアルゴリズムがある。これは命題論理学の著しい特色であって、述語論理学の扱う形式の正否を決めるアルゴリズムは存在しないのである。[吉田夏彦]

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世界大百科事典内の命題論理学の言及

【述語論理学】より

…現代論理学の基礎部分。命題論理学を体系の一部として含む。後者がもっぱら命題を構成単位と考え,命題相互の論理的関係を主題とするのに対し,述語論理学は後述するように,基本的な命題をも主語・述語の要素に分析し,命題に含まれる主語相互の関係を扱おうとする。…

【論理学】より

…アリストテレスが樹立した無様相三段論法の体系は,集合算のなかに吸収される。〈もの〉として命題だけを考え,命題が属する2種類の集合――真な命題の集合と偽な命題の集合――を考え,その間の関係を考察する論理学は命題論理学と呼ばれる。さらに,個体としての〈もの〉の一定の枠を想定し,その枠内で〈もの〉の組がつくる集合――これを述語という――を考え,これら個体と述語の結合を記述する命題の相互関係を考察する論理学は,(一階の)述語論理学と呼ばれる。…

※「命題論理学」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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