極大・極小(読み)きょくだい・きょくしょう(英語表記)maximal and minimal

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

極大・極小
きょくだい・きょくしょう
maximal and minimal

関数 f(x) が,定義域 D の内点 a のある近傍において局所的に最大あるいは最小になるとき,f(x) は極大あるいは極小になるといい,そのときの値 f(a) を極大値あるいは極小値という。これを正確に述べれば次のようになる。すなわち,ある正の数 δ が存在して,0<|xa|<δ ならば f(x)-f(a)<0 あるいは f(x)-f(a)>0 が成り立つとき,f(x) は点 a で極大あるいは極小である。またこの af(x) の極大点あるいは極小点ということがある。極大値,極小値を合せて極値という。 f(x) が点 aD で微分可能なとき,f(x) が xa で極値をとるためには,f'(a)=0 となることが必要である (必要条件) 。これは十分条件ではない。たとえば f(x)=x3+1 は,x=0 のとき f'(0)=0 であるが,f(0) は極大値にも極小値でもない。 f(x) が点 aD の近傍で微分可能かつ f'(a)=0 で,もし f'(x) が a を通過するとき,その符号を+から-に,あるいは-から+に変えるならば,f(a) は極大値あるいは極小値となる (十分条件) 。一般に,f(x) が点 aD の近傍で n-1 回微分可能であり,an 回微分可能であって,f'(a)=f''(a)=…=f(n-1)(a)=0 かつ f(n)(a)≠0 のとき,(1) n が偶数で,f(n)(a)<0 ならば f(a) は極大値,f(n)(a)>0 ならば f(a) は極小値となる。 (2) n が奇数ならば f(a) は極値とならない。

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百科事典マイペディアの解説

極大・極小【きょくだい・きょくしょう】

x=aを含む範囲で定義された関数y=f(x)がaに十分近いすべての点xでf(x)≦f(a)(f(x)≧f(a))となるならば,f(x)はx=aで極大(極小)であるといい,f(a)を極大(極小)値という。極大・極小値を合わせて極値という。f(x)が微分可能ならばf′(a)=0でf″(a)<0(>0)のときf(x)はx=aで極大(極小)。→変曲点
→関連項目変分学

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