極値（読み）キョクチ（英語表記）optimum value

デジタル大辞泉

きょく‐ち【極値】

１ 関数の極大値と極小値。
２ ある期間に、ある地点で観測された気圧・気温・風速・降水量などの、最高・最大の値または最低・最小の値。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

きょく‐ち【極値】

1. 〘 名詞 〙 極大値と極小値の併称。

出典　精選版 日本国語大辞典

日本大百科全書(ニッポニカ)

極値
きょくち
optimum value

関数が与えられたとき、1点Pの適当な近傍Vをとると、Vのなかではその関数がPにおいて最大（最小）となっているとき、関数はPにおいて極大（極小）となるといい、そのときの関数値を極大値（極小値）という。極大値、極小値を総称して極値という。

　関数が最大あるいは最小になる点が存在するならば、それを関数の全定義域から求めよ、というのは、古来数学における重要な問題であった。しかし、最大・最小という性質が大域的なものであるため、一般的に解を得ることはたいへん困難である。一方、極大・極小という性質は局所的なものであって、極値を与える点は、以下に示すように微分法を用いて探すことができる。これら極値を与える点から最大・最小を与えるものを求める、というのが実用的なやり方である。

［竹之内脩］

一変数関数の極値

関数f(x)がx＝x₀で微分可能でx＝x₀で極値をとるならば、f′(x₀)＝0である。もしf′(x)がx₀の左側では正、右側では負であれば、x₀はf(x)の極大を与え、左側で負、右側で正ならば極小を与える。またf(x)がx＝x₀でn回微分可能で、
　f′(x₀)＝0, f″(x₀)＝0,……,
　f^(n-1)(x₀)＝0, f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0
のときは、nが偶数ならばx₀はf(x)の極値を与える点であり、nが奇数のときはx₀はf(x)の極値を与えない。

［竹之内脩］

多変数関数の極値

記述を簡単にするため二変数関数の場合を述べる。f(x, y)がP(x₀, y₀)で偏微分可能で、fがPで極値をとるならば、f_x(x₀, y₀)＝0, f_y(x₀, y₀)＝0である（f_x、f_yはfの偏微分係数）。また、fがPの近傍において2回連続微分可能（f_xx、f_xy、f_yyが存在して連続）で、f_x(x₀, y₀)＝0, f_y(x₀, y₀)＝0であるとする。

　Δ＝f_xy(x₀, y₀)²
　－f_xx(x₀, y₀)f_yy(x₀, y₀)
なる値の符号によって、Δ＜0ならばfはPで極値をとり、Δ＞0ならば極値をとらないと判定される。ただしΔ＝0であるときは、これだけからはいずれとも判定できない。

　∅(x, y)＝0という条件のもとでx、yが変化するとき、これらの値をもつ点は一つの曲線を描く。この曲線上での関数f(x, y)の極大・極小を求めるには、一つの定数λを考えて、f(x, y)－λ∅(x, y)という式をつくり、これをx、yに関して偏微分したものをゼロと置いて、すなわち、
　f_x(x, y)－λ∅_x(x, y)＝0,
　f_y(x, y)－λ∅_y(x, y)＝0
を満たす点(x, y)を極大・極小を与える候補として調べればよい。この方法をラグランジュの未定乗数法という。

［竹之内脩］

多変数関数の極値の求め方

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

極値
きょくち
extreme

気象要素がある期間内に示す最高および最低の値。日最高気温や日最低気温は，その日の極値である。とくに観測開始以来の極値としてよく使われている。（→気象観測）

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

改訂新版　世界大百科事典

極値 (きょくち)

→極大・極小

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

世界大百科事典（旧版）内の極値の言及

【極大･極小】より

…しかし図1で示すようにf(x)＝x³－3xについてはf(－1)＝2は極大値ではあるが最大値でなく，f(1)＝－2は極小値ではあるが最小値でない。極大値と極小値とを総称して極値という。　f(x)が実数のある区間で定義された微分可能な関数であって，cをその区間の内部の1点とする。…

※「極値」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」