極大極小(読み)きょくだいきょくしょう(英語表記)relative maximum, relative minimum

改訂新版 世界大百科事典 「極大極小」の意味・わかりやすい解説

極大・極小 (きょくだいきょくしょう)
relative maximum, relative minimum

cを含む一つの集合Eで定義された実数関数fx)があるとする。cに十分近いEのすべての点でfx)≦fc)となるとき,fcにおいて極大となる,あるいは極大値fc)をとるという。cに十分近いEのすべての点でfx)≧fc)となるとき,fcにおいて極小となる,あるいは極小値fc)をとるという。いいかえるとfc)が極大値であるというのは,cの近くでだけ(すなわち局所的に)考えたときの最大値であって定義域全体で考えたときの最大値とは限らない。極小値についても同様である。例えば,Eを実数全体とするとき,fx)=x2についてはf(0)=0は極小値で,同時に最小値でもある。しかし図1で示すようにfx)=x3-3xについてはf(-1)=2は極大値ではあるが最大値でなく,f(1)=-2は極小値ではあるが最小値でない。極大値と極小値とを総称して極値という。

 fx)が実数のある区間で定義された微分可能な関数であって,cをその区間の内部の1点とする。このとき,(1)fcにおいて極値をとるならばf′(c)=0である。(2)cに十分近いところでxcにおいてf′(x)>0で,xcにおいてf′(x)<0となるなら,fc)は極大値である。f′(x)に関する不等号の向きがこれと逆の場合はfc)は極小値である。(3)fが2回微分可能であってf′(c)=0のときは,f″(c)<0ならfc)は極大値,f″(c)>0ならfc)は極小値である。なお,(1)の逆は成り立たない。すなわち図2の例のようにf′(c)=0でもfc)は極値とは限らない。
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出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報

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