超数学（読み）ちょうすうがく（その他表記）metamathematics

改訂新版　世界大百科事典

超数学 (ちょうすうがく)
metamathematics

D.ヒルベルトの提唱した形式主義においては，数学の各理論体系は用いられる論理も含めて公理化され記号化される。式，命題，証明はそれぞれ体系内で定められた一定の規則に従う単なる記号の有限列であって，そこに現れる記号（論理記号も含めて）や記号の有限列はすべて〈意味のない〉ものとされ，初めに与えられた法則のみに従って変形されるものとする。このように形式的体系として記号化された数学と，その形式的体系について研究する数学とを厳密に区別しなければならない。後者を超数学と呼ぶ。数学の基礎づけに対するヒルベルトの計画によれば，数学の形式的体系の無矛盾性，すなわち，その体系内で矛盾へと至る証明はないことを，構成的なしかたで証明することがもっとも重要な目標であり，そのためには体系内での証明自体が主たる研究対象となるから，超数学を証明論ともいう。
→数学基礎論
執筆者：柘植 利之

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

超数学
ちょうすうがく
metamathematics

数学における証明の本質は，数学的対称の間の基本的な関係すなわち公理を立て，三段論法的推論の規則を，これらの公理またはすでに得られた定理に適用して，常に新しい定理へと進むことにある。これは1つのゲームに似ており，このゲームを続けていくと，どのような結果が証明可能な定理として出てくるかは，あらかじめ予測できず，したがって真の認識とはなりえない。しかし，この数学というゲームが，決して矛盾に達しないということを確かめることによって，ゲームを単なるゲームから認識の段階へと高めることができる。このような証明における無矛盾性の確立を目的とする学問を，超数学という。この場合のゲームそのものがいわゆる数学である。超数学という名は D.ヒルベルトによって提唱された。

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世界大百科事典（旧版）内の超数学の言及

【数学基礎論】より

…
［証明論］
　ヒルベルトの計画によれば，記号論理の方法を用いて公理的体系として形式化された数学と，その形式的体系について研究する数学とを厳密に区別する。後者を超数学といい，その論法は有限的，構成的なしかたによらなければならない。超数学では体系内での証明自体が研究の主たる対象とされるからこれを証明論proof theoryともいう。…

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