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魔方陣 まほうじん magic square

翻訳|magic square

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

魔方陣
まほうじん
magic square

中国や日本では単に方陣と呼ばれた。1から n2 までの整数を,nn 列の正方形の形に配列して,各行の和,各列の和,そして対角線の和を,すべて n(n2+1)/2 に等しくなるようにしたものを n 次の魔方陣という。

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デジタル大辞泉の解説

ま‐ほうじん〔‐ハウヂン〕【魔方陣】

方陣2

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百科事典マイペディアの解説

魔方陣【まほうじん】

単に方陣ともいう(関孝和命名)。英語ではmagic square。1からn2までの整数をn行n列の正方形に並べ,各行および各列の数の和がすべてn(n2+1)/2となるようにしたものを,n次の魔方陣という。

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世界大百科事典 第2版の解説

まほうじん【魔方陣 magic square】

日本では関孝和が単に方陣と名づけた。1,2,……,n2n×n個の数を正方形に並べて縦,横,斜めの和を一定にしたものであるが,種々の特徴がある。五方陣でいえば図1‐aのごとく中心格13に関して対称な2格の和(例えば17+9,3+23)がすべて定数26となるものを対称方陣という。図1‐bのごとく外側の中3格が相対する格との和が定数26となるものを親子方陣という。図1‐cのごとく対角線に平行な汎対角線(例えば14+16+23+5+7)がすべて定数65となるものを完全方陣という。

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大辞林 第三版の解説

まほうじん【魔方陣】

出典|三省堂
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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

魔方陣
まほうじん
magic square

方陣ともいう。n×n個の升目に数を入れて、縦、横、斜め、どの1列のn個の数の和も一定になるようにしたもの。このnを次数といい、nが3なら三方陣、nが4なら四方陣というようによんでいる。二方陣はつくれないので、図Aの三方陣が最小のものになる。三方陣には、「憎(にく)し(294)と思うな七五三(753)、六一(61)坊主にハチ(8)が刺す」などの覚え歌がある。また、1列の数の和は、1からn2までの数を入れた普通の魔方陣では、三方陣が15、四方陣が34、五方陣が65、六方陣では111、一般にn方陣ではnn2+1)/2である。
 魔方陣がいつごろからあったかは不明であるが、中国で古くから魔方陣が知られていたことは確かである。伝えによると、のちに夏(か)王朝の始祖となった禹(う)が、洛水(らくすい)という河の治水工事をしたときに、背中に図Bのような模様のついた大きなカメが現れたという。この模様のひとつながりの丸を、それぞれの個数に相当する数に置き直してみると、図Aの三方陣になる。そこでこの魔方陣を「洛書(らくしょ)」とよんでいる。夏王朝の存在がまだ確認されていないうえ、この話の真偽もさだかではないが、すべてが事実だとすれば、約4000年前のことになる。このことはあいまいとしているが、少なくとも中国では2000年前には三方陣が存在していたと考えても間違いないようである。
 魔方陣は、現在では数学パズルの対象でしかないが、昔の人にはよほど神秘的なものに映ったらしく、中国ではこれを基に九星術という占いがつくられた。また、アラビアやインドでも、魔方陣を御守りや魔除(まよ)けに使っていた。西洋でも、その人の星座と魔方陣とを刻んだメダルを御守りに用いたことがある。図Cは、ドイツの著名な画家デューラーの『メランコリー』と題する銅版画のなかに描かれている四方陣も占星術的な意味があると解釈される。なお、この魔方陣のいちばん下の段には、製作年度の1514が示されている(太字で示す)。
 魔方陣のなかには、いろいろな特色をもつものがある。図Dは完全方陣とよばれるものである。この魔方陣を横または縦方向に筒形に丸めて、上下または左右の辺を重ねると、それぞれ4本ずつ、計8本の対角線が生じるが、完全方陣ではこれらの対角線の数の和もすべて等しくなる。たとえば、
  8+5+9+12=34
  8+14+9+3=34
 したがって、完全方陣の最上段を最下段の下に移す操作を順に行っていっても、すべて魔方陣となる。また、最左行を最右行の右に移す操作を順に行っても、やはり魔方陣になる。なお完全方陣のことを超魔方陣、ナシク方陣などとよぶこともある。
 次に親子方陣というのは図Eのようなもので、この十方陣ではぞれぞれの太線の中が魔方陣として成り立つ。つまりこの方陣は、十方陣であると同時に、八方陣でも、六方陣でも、四方陣でもあることになる。
 これまで紹介したものは、いずれも平面の魔方陣であった。これに対して、立体の魔方陣も考えられる。それが立体方陣である。平面の場合、1からn2までの数を素材としているが、立体の場合は1からn3までの数が素材となる。立体方陣は、厳密にいえば縦、横、上下、平面対角線(斜め)、立体対角線のことごとくが等しくなくてはならないわけであるが、普通は平面対角線はかならずしも等しくなくてもよいことにしている。図Fでも
 縦 8+22+12=27+14+1=42など
 横 8+13+21=9+14+19=42など
 上下 8+10+24=3+14+25=42など
 立体対角線 12+14+16=4+14+24=42
       8+14+20=21+14+7=42
はすべて等しくなるが、平面対角線はそうとは限らない。
 こうした立体方陣を最初につくったのは、有名な数学者フェルマーである。フェルマーは1640年に立体四方陣をつくっている。しかしこの作品では立体対角線が成り立たない。立体対角線も成立する立体四方陣を最初につくったのは久留島義太(くるしまよしひろ)である。
 こうした1からn2まで、また1からn3までの数を素材とした魔方陣以外にも、多くの魔方陣がつくられている。そのなかでも、素数のみを素材にした素数方陣は、1900年にイギリスの数学パズル研究家H・E・デュードニー(1857―1930)が論じて以来、多くの人が研究している。図Gはその一例である。[高木茂男]
『平山諦・阿部楽方著『方陣の研究』(1983・大阪教育図書)』

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