恒等式（読み）コウトウシキ（英語表記）identity

デジタル大辞泉

こうとう‐しき【恒等式】

式の中の文字にどんな数値を代入しても成り立つ等式。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

こうとう‐しき【恒等式】

1. 〘 名詞 〙 数学で、その中の文字にどんな数値を代入しても常に成立するような等式をいう。

出典　精選版 日本国語大辞典

改訂新版　世界大百科事典

恒等式 (こうとうしき)
identity

x³＋y³＝（x＋y）（x²－xy＋y²），1＋tan²θ＝sec²θのように，変数を含んだ等式で，その変数にどんな値を代入しても，両辺に意味がある限り（上の例では，第2式はcosθ＝0となるようなθの値が除外される）等式が成り立つとき，その等式を恒等式という。ただし，変数の値の範囲は，通常実数全体であるが，複素数全体で考えることも，また後述のようにその他の場合もある。

（1）多項式による恒等式については，次のことが基本的である。

　f（x），g（x）が一変数xについての数係数の多項式であり，次数がd以内であるとき，相異なるd＋1個のxの複素数値a₁，……，a_d+1についてf（a_i）＝g（a_i）が成り立てば，f（x）＝g（x）は恒等式である。このことは，多変数の場合，次のように一般化される。

　f（x₁，……，x_n），g（x₁，……，x_n）がn変数x₁，x₂，……，x_nについての数係数の多項式であって，f，gとも，x_iについての次数がd_i以内であるとき，相異なるd_i＋1個の複素数からなる集合S_i（i＝1，……，n）を適当にとって，

　a_i∈S_i　（i＝1，2，……，n）

　　f（a₁，a₂，……，a_n）＝g（a₁，……，a_n）

となるならば，f（x₁，……，x_n）＝g（x₁，……，x_n）は恒等式である。したがって，次の系が得られる。

　f（x₁，……，x_n），g（x₁，……，x_n）

　　h（x₁，……，x_n），k（x₁，……，x_n）

が数係数の多項式で，いずれも定数は0でないとする。このとき，

　f（x₁，……，x_n）k（x₁，……，x_n）＝g（x₁，……，x_n）h（x₁，……，x_n）

が恒等式であれば，も恒等式であり，逆も成り立つ。

　このことは，数係数，複素数の代りに，ある可換体Kを考え，Kに係数をもつ，Kの元にそれぞれおきかえても正しい。

（2）値が特殊な演算体系内を動くときにも，その体系についての恒等式という概念がある。そのようなもののうち有名なものは，それぞれの体系における演算公式ともいえるものである。
執筆者：永田 雅宜

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

恒等式
こうとうしき
identity

2つの式が等号で結べるとき，それらを等号で結んでできた式を等式という。等式のうち，たとえば，(x＋1)²＝x²＋2x＋1 のように，式変形の法則によって左辺が右辺に移せるとき，恒等式という。この x に数を代入するとき，普通の場合は，どのような数値を代入しても成立することと同じだから，恒等式の語がある。ただし，有限体を考えるときは，たとえば数が0と1しかなければ x²＝x は常に成立するが，これは多項式としては両辺が異なるので恒等式にならない。普通の数を扱う場合に戻って，等式 x²－1＝0 では，特定の x ，すなわち x＝1 および x＝－1 の場合にしか等式にならないからこれは恒等式ではない。このような等式を方程式という。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

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恒等式【こうとうしき】

文字を含む等式で，文字にどんな値を代入しても成り立つもの。（a＋b）²＝a²＋２ab＋b²はその一例。→方程式

出典　株式会社平凡社

世界大百科事典（旧版）内の恒等式の言及

【等式】より

…(1)，(2)，(3)，(4)では両辺をそれぞれ適当に整理すると，両辺がまったく同じになり，等号はいつも成り立つ。このような等式を恒等式という。一方，(5)，(6)，(7)では，変数xやyに着目すると，xやyが特定の値をとるときにのみ等号が成り立つ。…

※「恒等式」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」