オイラーの公式（読み）オイラーノコウシキ（その他表記）Euler's formulas

デジタル大辞泉

オイラー‐の‐こうしき【オイラーの公式】

指数関数と三角関数との関係を表す式。自然対数をe、虚数単位をiとすると、e^iθ＝cosθ＋isinθという公式が成り立つ。θ＝πのとき、e^iπ＋1＝0となり、これをオイラーの等式とよぶ。いずれもスイス出身の数学者レオンハルト＝オイラーにちなむ。

出典　小学館

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

オイラーの公式
オイラーのこうしき
Euler's formulas

オイラーの公式と呼ばれる定理は多数あるが，次のものが代表的である。 (1) 分数式に関するもの　 E_n＝aⁿ/(a－b)(a－c)＋bⁿ/(b－a)(b－c)＋cⁿ/(c－a)(c－b) を表わす公式。特に E₁＝0 ，E₂＝1 ，E₃＝a＋b＋c など。あるいはこれを k 変数に拡張した公式。 (2) 複素数の領域における関数 e^x ， sin x ， cos x の間の形式的恒等関係に関する公式　 e^ix＝ cos x＋i sin x ( x は実数) 。また e^-ix＝ cos x－i sin x であるから， cos x＝(e^ix＋e^-ix)/2 ， sin x＝(e^ix－e^-ix)/2i 。この公式は 19世紀にいたり複素変数の関数論が発展した段階で，形式的な公式から真に数学的意味をもつ定理へ発展した。 (3) 曲面上の曲線の曲率に関するもの　 1/R＝ cos ²θ/R₁＋ sin ²θ/R₂ 。これは，曲面論の初歩に関する重要な公式である。曲面上の任意の点における接平面上には，その点における曲面の「切り口」 (この点における曲面の法線を含む任意の平面で，曲面を切ることによってその曲面上に現れる曲線) の曲率 1/R が，最大値 1/R₁ および最小値 1/R₂ をとる2つの方向が存在し，この2つの方向は，接平面上で互いに垂直である。この公式で θ は，「切り口」の接線と曲率 1/R₁ を与える方向との間の角である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

法則の辞典

オイラーの公式【Euler's formula of polyhedron】

面の交わることのない多面体において，面の数（F），頂点の数（V），および稜の数（E）の間には次のような関係がある．オイラーの多面体定理＊と呼ばれることもある．オイラー‐ポアンカレの式＊も参照．

F＋V＝E＋2

出典　朝倉書店

世界大百科事典（旧版）内のオイラーの公式の言及

【三角関数】より

…　また，複素変数の指数関数，を用いると，と表され，e^iz＝cosz＋isinzが成立する。とくにz＝iθ(θは実数)とした式，　e^iθ＝cosθ＋isinθをオイラーの公式Euler’s formulaという。図4に三角関数のグラフを示す。…

【指数関数】より

…この定義と三角関数cosz,sinzの定義とから，e^iz＝cosz＋isinzが導かれる。ここでz＝iθ(θは実数)とした式，　e^iθ＝cosθ＋isinθをオイラーの公式という。この式により，複素数z＝x＋iy(x,yは実数)の指数関数e^z＝e^x＋iy＝e^xe^iyにおいて，e^xはe^zの絶対値，yはe^zの偏角を表すことがわかる。…

※「オイラーの公式」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」