オイラーの公式（読み）オイラーのこうしき（英語表記）Euler's formulas

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

オイラーの公式
オイラーのこうしき
Euler's formulas

オイラーの公式と呼ばれる定理は多数あるが，次のものが代表的である。 (1) 分数式に関するもの　 E_n＝aⁿ/(a－b)(a－c)＋bⁿ/(b－a)(b－c)＋cⁿ/(c－a)(c－b) を表わす公式。特に E₁＝0 ，E₂＝1 ，E₃＝a＋b＋c など。あるいはこれを k 変数に拡張した公式。 (2) 複素数の領域における関数 e^x ， sin x ， cos x の間の形式的恒等関係に関する公式　 e^ix＝ cos x＋i sin x ( x は実数) 。また e^-ix＝ cos x－i sin x であるから， cos x＝(e^ix＋e^-ix)/2 ， sin x＝(e^ix－e^-ix)/2i 。この公式は 19世紀にいたり複素変数の関数論が発展した段階で，形式的な公式から真に数学的意味をもつ定理へ発展した。 (3) 曲面上の曲線の曲率に関するもの　 1/R＝ cos ²θ/R₁＋ sin ²θ/R₂ 。これは，曲面論の初歩に関する重要な公式である。曲面上の任意の点における接平面上には，その点における曲面の「切り口」 (この点における曲面の法線を含む任意の平面で，曲面を切ることによってその曲面上に現れる曲線) の曲率 1/R が，最大値 1/R₁ および最小値 1/R₂ をとる2つの方向が存在し，この2つの方向は，接平面上で互いに垂直である。この公式で θ は，「切り口」の接線と曲率 1/R₁ を与える方向との間の角である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典