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曲率 きょくりつcurvature

翻訳|curvature

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

曲率
きょくりつ
curvature

曲線および曲面について定義される。 (1) 曲線の曲率 曲線上の点Pが曲線に沿って動くとき,その進行方向は,移動した距離 (曲線の弧長) s に伴って変化する。このときの変化率を曲線の曲率という。いま平面曲線上の定点PからQまでの微小な移動距離を Δs ,その2点P,Qにおける2つの接線がつくる角 ( s の増加方向の) を Δθ とすれば,方向の変化率 κ は,Δs が0に近づくときの Δs/Δθ の極限で与えられる。これをこの曲線の点Pにおける曲率という。 κ の逆数 ρ=1/κ を曲率半径という。これは接触円の半径になる。空間曲線についても同様である。 (2) 曲面の曲率 これには,法曲率測地的曲率全曲率 (ガウスの曲率) ,平均曲率がある。

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デジタル大辞泉の解説

きょく‐りつ【曲率】

曲線や曲面の曲がりの度合いを示す値。曲線上の近い二点のそれぞれの接線がつくる角と、二点間の弧の長さとの比の極限値で表す。曲率が大きいほど湾曲は大きく、また円では一定である。

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百科事典マイペディアの解説

曲率【きょくりつ】

曲線または曲面の曲がる度合を表す量。(1)平面曲線上の一点Pから近くの点Qまでの曲線の弧の長さをΔsとし,Pにおける曲線の接線とQにおける曲線の接線がなす角をΔθ(ラジアン)とするとき,QがPに無限に近づいたとき比Δθ/Δsがとる極限値を曲率という。これをκで表すとき,ρ=1/|κ|を曲率半径といい,曲線の曲がり方はρが大きいほどゆるやかである。点Pでこの曲線に接する円で,半径が曲率半径に等しく,共通接線に関し曲線と同側にあるものを,点Pにおけるこの曲線の曲率円といい,その中心を曲率中心という。同様に空間内の曲線についても曲率を定義できるが,2接線のなす角に符号がつけられないので,|Δθ/Δs|として考える。(2)曲面ではその上の1点Pにおける曲率として考える。法線を含む平面で曲面を切り,切口の曲線の点Pにおける曲率半径をRとする。平面の向きをいろいろに変えれば,Rも変化し,最大値R1と最小値R2をとる。1/R1,1/R2を主曲率,(1/R1+1/R2)/2を平均曲率,1/R1R2を全曲率またはガウスの曲率という。
→関連項目クロソイド縮閉線

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世界大百科事典 第2版の解説

きょくりつ【曲率 curvature】

曲線や曲面の曲がる度合を表す量をいう。まず,平面上の曲線の場合を考えよう。曲線Cを弧長sを用いて媒介変数表示し,弧長sの点をP(s)で表す。また,Cの各接線には曲線の正の向き(sが増すときにP(s)の動く向き)と同じ向きをつける。いま,sを固定して,P(s)における接線の向きからPの近くの点P(s+⊿s)における接線の向きまでの回転角を⊿θ(ラジアン)とし,比⊿θ/⊿sを考える(図1)。⊿sを0に近づけたときのこの比の極限をPにおけるCの曲率という。

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大辞林 第三版の解説

きょくりつ【曲率】

〘数〙 曲線または曲面の上の各点において、その曲線または曲面のまがりの程度を示す値。曲線は曲率が大きな点近くで急にまがり、小さな点で緩やかにまがる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

曲率
きょくりつ

曲線の曲がっている度合いを表す数。曲線上の隣接3点を通る円の半径、すなわち曲率半径の逆数として定められる。直線は曲率ゼロであり、曲線は曲率が大きいほど曲がり方が大きい。
 平面上の曲線y=f(x)に対して、f(x)が2回微分可能であるとするとき、この曲線上の点P0(x0,y0)と曲線上の隣接する2点を通る円(曲線上にP0と異なる点P1、P2をとり、P0、P1、P2を通る円をつくって、P1、P2をP0に近づけたときの極限の円)をP0における曲率円という。その半径の逆数が曲率で、それは、

となる。この値はy″の正負によって正、または負となるが、曲率が正とはxが増加するとき曲線が左側(すなわち正の方向)に曲がっていくこと、負とは右側に曲がっていくことを意味する。
 曲率は、また、P0とその近くの点Pとにおける接線のなす角をθ、P0とPの間の曲線の弧の長さをΔsとして、

という式で与えることもできる。曲率は曲線の形状を特徴づける数である。空間曲線や、曲面の曲率も定義される。さらにリーマン幾何学においては空間の曲率も定義される。[竹之内脩]

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