日本大百科全書(ニッポニカ) 「ベクトル解析」の意味・わかりやすい解説
ベクトル解析
べくとるかいせき
vector analysis
ベクトル場
空間の領域Dの各点P(x,y,z)に対し、関数f(P)=f(x,y,z)が対応するとき、D上のスカラー場fが定義されたという。これに対し、ベクトルの値をとる関数F(P)=(f(P),g(P),h(P))が対応するとき、D上のベクトル場Fが定義されたという（あるいは、DからR3への写像Fが定義されたという）。ベクトル場の連続性、微分可能性は、各成分関数の連続性、微分可能性で定義する。
［洲之内治男］
スカラー場の勾配ベクトル
領域Dにおけるスカラー場f(x,y,z)に対し、
を成分とするベクトルをスカラー場fの勾配ベクトル(こうばいべくとる)といい
で表す。あるいは、x、y、z方向の単位ベクトルをi、j、kとすると、
と表すこともできる。
ベクトル場F(P)があるスカラー場f(P)により、
F(P)=(gradf)(P)
と表されるとき、ベクトル場Fはポテンシャルfをもつといい、fをFのポテンシャルという。
［洲之内治男］
ベクトル場の発散と回転
領域Dで定義されたベクトル場をF(P)=(f(P),g(P),h(P))とするとき、
をつくると、これはスカラー場で、これをFの発散という。また、
をFの回転という。これらの点Pにおける値を(divF)(P),(rotF)(P)のように表す。
形式的に、成分として微分作用素をもつベクトル
を考え、スカラー場fに対しては
ベクトル場に対しては、内積と外積をつくると、
となる。したがってベクトル計算より、
rot(▽f)=▽×(▽f)
=(▽×▽)f=0
div(rotF)=〈▽,▽×F〉=0
などが得られる。
［洲之内治男］
線積分とグリーンの定理
まず二次元の場合を考える。平面上の領域Dの各点(x,y)にベクトル場F(x,y)=(f(x,y),g(x,y))が定義されているとする。D内の滑らかな閉曲線C:C(t)=(x(t),y(t))をとると、Cに沿ってのFの線積分は、
で定義されたが、とくに、CをD内の閉曲線とし、時計と反対回りに向きをつけ、Cの囲む領域を
とすると
となる（グリーンの定理）。これを用いると、ベクトル場F(P)=(f(x,y),g(x,y))がD内でポテンシャルをもつことと、次の条件とが同値であることがいえる。
（イ） P,Q∈Dに対し、Fの線積分はP、Qを結ぶ曲線のとり方に無関係に決まる、
であるということがいえる。よって、
F=grad
ならば
となり、微分積分学の基本定理
の拡張になっていることがわかる。
［洲之内治男］
ストークスの定理
のような曲面の境界線をCとすると、Sの点に対し定義されたベクトル場Fに対し、
ここにtは曲線C上の、正の向きをもった単位接線ベクトルであり、右辺は線積分である。
ガウスの定理の応用として、たとえば、流体の中に、閉曲面Sをとり、ρを密度、v(x,y,z)を速度とし、F=ρvと置くと、右辺がSから単位時間に流出する量、それがガウスの定理よりG内から吹き出したり、吸い込まれたりした総量に等しいことを示している。よって、div(ρv)がその点の吹き出しや吸い込みの量を表しているといえる。
前のグリーンの定理と同様に、ストークスの定理を用いると、ベクトル場Fがポテンシャルをもつ必要十分条件は、rotF=0であり、この条件を満足するとき、FのPからQまでの積線分はP、Qを結ぶ曲線に無関係で、F=gradとすると、
これらの定理は、一般のn次元空間でも成立する。
［洲之内治男］
