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オイラーの公式 オイラーのこうしきEuler's formulas

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

オイラーの公式
オイラーのこうしき
Euler's formulas

オイラーの公式と呼ばれる定理は多数あるが,次のものが代表的である。 (1) 分数式に関するもの  Enan/(ab)(ac)+bn/(ba)(bc)+cn/(ca)(cb) を表わす公式。特に E1=0 ,E2=1 ,E3abc など。あるいはこれを k 変数に拡張した公式。 (2) 複素数の領域における関数 ex , sin x , cos x の間の形式的恒等関係に関する公式  eix= cos xi sin x ( x は実数) 。また e-ix= cos xi sin x であるから, cos x=(eixe-ix)/2 , sin x=(eixe-ix)/2i 。この公式は 19世紀にいたり複素変数の関数論が発展した段階で,形式的な公式から真に数学的意味をもつ定理へ発展した。 (3) 曲面上の曲線の曲率に関するもの  1/R= cos 2θ/R1+ sin 2θ/R2 。これは,曲面論の初歩に関する重要な公式である。曲面上の任意の点における接平面上には,その点における曲面の「切り口」 (この点における曲面の法線を含む任意の平面で,曲面を切ることによってその曲面上に現れる曲線) の曲率 1/R が,最大値 1/R1 および最小値 1/R2 をとる2つの方向が存在し,この2つの方向は,接平面上で互いに垂直である。この公式で θ は,「切り口」の接線と曲率 1/R1 を与える方向との間の角である。

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デジタル大辞泉の解説

オイラー‐の‐こうしき【オイラーの公式】

指数関数三角関数との関係を表す式。自然対数e虚数単位をiとすると、eiθ=cosθisinθという公式が成り立つ。θ=πのとき、eiπ+1=0となり、これをオイラーの等式とよぶ。いずれもスイス出身の数学者レオンハルト=オイラーにちなむ。

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世界大百科事典内のオイラーの公式の言及

【三角関数】より

… また,複素変数の指数関数,を用いると,と表され,eiz=coszisinzが成立する。とくにziθ(θは実数)とした式, eiθ=cosθ+isinθをオイラーの公式Euler’s formulaという。図4に三角関数のグラフを示す。…

【指数関数】より

…この定義と三角関数cosz,sinzの定義とから,eiz=coszisinzが導かれる。ここでziθ(θは実数)とした式, eiθ=cosθ+isinθをオイラーの公式という。この式により,複素数zxiy(x,yは実数)の指数関数ezexiyexeiyにおいて,exezの絶対値,yezの偏角を表すことがわかる。…

※「オイラーの公式」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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