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代数曲線 だいすうきょくせんalgebraic curve

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

代数曲線
だいすうきょくせん
algebraic curve

xy 平面において代数方程式 f(xy)=0 を満たす点 (xy) 全体の集合を代数曲線といい,f(xy)=0 をその代数曲線の方程式という。 f(xy) が n 次の2元多項式のとき,その代数曲線を n 次の代数曲線という。たとえば,アステロイドの方程式 x2/3y2/3a2/3xy についての6次の多項式 (x2y2a2)3+27a2x2y2=0 に書き直せるので,6次の代数曲線であることがわかる。3次元の代数曲線は,2つの代数曲面の交わりとして表わしたものをいう。

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世界大百科事典 第2版の解説

だいすうきょくせん【代数曲線 algebraic curve】

x2(x+1)-y2=0やx4y4-2x(x2y2)=0のように,既約な2変数多項式f(x,y)に対してf(x,y)=0を満たす点(x,y)の全体を平面代数曲線(アフィン平面代数曲線)という。f(x,y)の次数がnのときn次曲線という。f(x,y)=0で定義される平面代数曲線c上の点(a,b)は,のとき特異点と呼ばれる。のときは正則点と呼ばれる。次の図の平面曲線は原点が特異点であり,その他の点は正則点である。

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大辞林 第三版の解説

だいすうきょくせん【代数曲線】

座標空間において、代数方程式で表される曲線。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

代数曲線
だいすうきょくせん
algebraic curve

一次元(既約)代数多様体を代数曲線という。とくに、二次元複素空間C2のなかの代数曲線を平面曲線という。平面曲線Γは、ある二変数の既約多項式f(X,Y)をゼロにする点全体からなっている。つまり、Γ={(x,y)∈C2|f(x,y)=0}で、このとき多項式fの次数を曲線Γの次数という。
 平面曲線Γの点P=(x,y)が
  (∂f/∂X)(x,y)
   =(∂f/∂Y)(x,y)=0
を満たすとき、点PをΓの特異点という。特異点でない点で、曲線Γにただ1本の接線が引ける。Γの特異点は、存在したとしても、有限個しかないが、とくに特異点をもたないΓを滑らかな曲線という。
 定義多項式fでX、Yをそれぞれ、X/Z,Y/Zで置き換え、分母をうまく払って得られるX、Y、Zの同次多項式で、二次元射影空間内に射影的代数多様体が決まる。このようなを射影的平面曲線というが、はΓに無限遠点を加えたもので、代数関数論やリーマン面論で重要な役をする。[菅野恒雄]

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世界大百科事典内の代数曲線の言及

【曲線】より

…曲線は極座標を用いてG(r,θ)=0のようにも表すことができる。F(x,y)がx,yについての多項式のとき,F(x,y)=0で表される曲線を代数曲線といい,多項式の次数がnのとき,これをn次曲線という。一次曲線は直線で,二次曲線は円錐曲線(楕円,双曲線,放物線および交わる2直線)である。…

※「代数曲線」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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