サイクロイド（読み）さいくろいど（英語表記）cycloid

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

サイクロイド
cycloid

擺線 (はいせん) ともいう。半径 a の円が一直線 ( x 軸) 上を滑らないで転がるときの，円周上の1点 P の軌跡で，媒介変数表示による曲線の方程式は，x＝a(θ－ sin θ) ，y＝a(1－ cos θ) である。サイクロイドの名は，G.ガリレイによって命名され (1599頃) ，その後 C.ホイヘンスや J.ベルヌーイらによって研究された。もし，点 P が転円の中心から h(h≠a) の距離にあれば，Pの軌跡の方程式は，x＝aθ－h sin θ ，y＝a－h cos θ となる。この曲線をトロコイド trochoidという。ここで h＝a の場合がサイクロイドである。半径 a の円が，半径 b の固定円の周の外側あるいは内側を，周に沿って滑らずに転がって動くとき，この転円の周上の1点Pの描く軌跡は，それぞれ

で与えられる。以上の曲線の方程式は，固定円の中心を原点とする直交座標系に関するもので，(1) を外サイクロイド (エピサイクロイドまたは外擺線) ，(2) を内サイクロイド (ハイポサイクロイドまたは内擺線) という。特に a＝b のとき外サイクロイドは心臓形となり，2a＝b のとき内サイクロイドは固定円の直径になる。点Pが転円と同一平面上にあるが，その周上にないとき，この点Pの軌跡を外トロコイド epitrochoid，内トロコイド hypotrochoidという。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

日本大百科全書(ニッポニカ)

サイクロイド
さいくろいど
cycloid

平面曲線の一つ。直線上を円が滑ることなく転がるとき、円上に固定された点の描く曲線であって、媒介変数を用いて、
　　x＝a(t－sint), y＝a(1－cost)
で表示される。道路を走る車の車輪の周上の1点の軌跡は、サイクロイドである。周の内側に固定した点や、外側に固定した点の軌跡をトロコイドtrochoidという。

　空間内に2点A、Bがあるとする。重力だけの作用を受ける質点がAからBまで動くとき、所用時間が最小になるのは、AとBを結ぶ直線に沿って動く場合ではなく、AとBをサイクロイドで結ぶ曲線に沿って動く場合である。このため、サイクロイドは最速降下線ともよばれる。

　円Oの外側を、他の円Cがこれに接しながら、滑ることなく転がるとき、この円C上に固定された1点の軌跡を、エピサイクロイドepicycloidという。動円Cが、円Oに内接しながら転がるときの動円C上の固定された点の軌跡を、ハイポサイクロイドhypocycloidという。円Oの半径aと円Cの半径bの比が、簡単な整数比の場合に、きれいな曲線ができる。エピサイクロイドでa/b＝1のときカージオイド（心臓形）、ハイポサイクロイドでa/b＝2のとき線分、a/b＝3のとき尖点(せんてん)三つの曲線、a/b＝4のときアステロイド（星芒形(せいぼうけい)）となる。

［竹之内脩］

[参照項目] | 変分法

サイクロイド（円上に固定された点の軌跡…

サイクロイド（トロコイド）

サイクロイド（エピサイクロイド）

サイクロイド（アステロイド）

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)