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変分法 へんぶんほうcalculus of variations

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

変分法
へんぶんほう
calculus of variations

たとえば,F を与えられた関数とするとき,積分
の値は,関数 y(x) が指定されるごとに定まる。このように,関数が指定されるごとに1つの値が定まるものを汎関数という。この汎関数の極値問題を論じる数学の分科を変分法,または変分学という。この種の問題は,数学ばかりでなく,物理学にもしばしば現れる。

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世界大百科事典 第2版の解説

へんぶんほう【変分法 calculus of variations】

例えば,垂直な平面内に点P,Qが与えられていて,質点pが重力によってPからQまである曲線に沿って運動するとき,その所要時間を最短にするためにはどのような曲線に沿って動けばよいかという問題を考える。これは1696年にヨハン・ベルヌーイが提起した問題で,数学的には次のように表現される。 点P,Qを含む垂直平面内に,図のように座標軸をとり,y軸の正の方向が下向きになるようにする。P,Qの座標をそれぞれ(x0,y0),(x1,y1)とする。

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大辞林 第三版の解説

へんぶんほう【変分法】

未知関数とその導関数からなる式を積分した値が極値をもつような未知関数を求める手法。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

変分法
へんぶんほう
calculus of variations

微分法で取り扱われる極値問題は、ある領域内を動くn個の変数(x1,x2,……,xn)の関数f(x1,x2,……,xn)の最大値、最小値を求めるのに対し、変分法では、次の有名な例(1696年、J・ベルヌーイによる)のような問題を考える。
 垂直なx-y平面の二点A=(x0,y0),B=(x1,y1),x1x0,y1y0を滑らかな曲線y=(x)で結び、この曲線に沿って一つの球を摩擦を受けることなく滑り落とすとき、点Bへ最短時間で到達する曲線を求めよ。
 これを数式で表すには、曲線y=(x)に沿っての粒子の速度は、

(落下した垂直距離の平方根、は重力の加速度)に比例することを思い出すと、所要時間は

となる。本質的でない定数(2)やy0を略すと、(x0)=0,(x1)=y1となる連続微分可能な曲線y=(x)のうち

を最小にする(x)を求めよ、という問題になる(この解はサイクロイドである)。
 このように、関数(x)の実数値関数I()を最小にする(x)を求めよ、という形の問題を解くのが変分法である。

のとき、(x)=u(x)で最大、最小をとる必要十分条件は、オイラーの方程式

を満足することである。
 同様に、二次元空間の有界領域をGとし、Gの境界上で(x,y)=g(x,y)(与えられた関数)となる関数のうちで

を最小にする(x,y)=u(x,y)を求めよ、という問題は、オイラーの方程式として

を満足する。
 変分法の問題をオイラーの方程式を用いて解くのも一つの方法であるが、変分法の問題を直接解く直接法もある。とくに、微分方程式をオイラー方程式としてもつ変分問題に直し、変分法の直接法で解くこともよく用いられる。
 直接法で近似解を求めるのにリッツの方法がある。それをポアソンの方程式について説明をすると、境界値として(x,y)=g(x,y)となるG上の連続微分可能な関数(x,y)をとり、u(x,y)=(x,y)-w(x,y)と置くと、

を最小とし、境界上で0となるwを求めればよい。その近似として、境界上で0となる関数1(x,y),……,n(x,y)を適当にとり、
  wn(x,y)=c11(x,y)+……+cnn(x,y)
の係数c1,c2,……,cn

を最小にするように決める。それには、普通の微分法の極値問題より、

よりc1c2、……、cnを決めればよい。すなわち、連立一次方程式

よりc1c2、……、cnを決めると、近似解

が得られる。[洲之内治男]

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