ブール代数（読み）ぶーるだいすう

日本大百科全書(ニッポニカ)

ブール代数
ぶーるだいすう

イギリスの数学者G・ブールが論理計算の場として導入した代数系で、論理学、集合論への適用だけでなく、コンピュータの回路設計など、その応用範囲は広い。理論は二値の述語論理で、論理式全体の集合をFとし、任意の論理式pとqについて、p=qとはp≡q（pとqは同値）が成り立つこととする。三つの論理演算p∨q（pあるいはq）、p∧q（pかつq）、～p（pの否定）を考える。このとき次の式が成り立つ。

(1)　p∨q=q∨p　p∧q=q∧p
(2)　p∨(q∨r)=(p∨q)∨r
　　　　p∧(q∧r)=(p∧q)∧r
(3)　(p∨q)∧q=q
　 　　 (p∧q)∨q=q
(4)　(p∨q)∧r
　　　 =(p∧r)∨(q∧r)
　　　　(p∧q)∨r
　　　 =(p∨r)∧(q∨r)
論理式pとqのいかんにかかわらず、
　　 p∨～p=q∨～q,
　 　p∧～p=q∧～q
である。そこで、p∨～p,p∧～pをそれぞれ1（真）と0（偽）で表すと、
(5)　p∨～p=1　p∧～p=0
である。これを一般化する。すなわち、集合Bは少なくとも二つの元1と0を含み、Bの二つの元xとyには、x∨y,x∧y,x^*というBの元が定義されていて、次の条件を満たすとする。ここでx^*はxの補元を表す。

(1)　x∨y=y∨x　x∧y=y∧x
(2)　x∨(y∨r)=(x∨y)∨r
　　　　x∧(y∧r)=(x∧y)∧r
(3)　(x∨y)∧y=y
　　　　(x∧y)∨y=y
(4)　(x∨y)∧r
　　　 =(x∧r)∨(y∧r)
　　　　(x∧y)∨r
　　　 =(x∨r)∧(y∨r)
(5)　x∨x^*=1　x∧x^*=0
このときBをブール代数といい、二項演算x∨y,x∧yと一項演算x^*をブール演算という。この条件(1)～(5)から、ド・モルガンの法則
　　(x∨y)^*=x^*∧y^*,(x∧y)^*=x^*∨y^*
が導かれる。また、x≦yをx∧y=x（これはx∨y=yと同値）のこととすれば、Bは順序集合となり、x∨y(x∧y)は、xとyより大（小）なる最小（最大）の元になる。前の述語論理では、論理式pとqについて、p≦qはp→q（pならばq）のことである。

　次に集合計算について考える。集合Aの部分集合の全体をP(A)とする。P(A)の元x、yはともにAの部分集合である。これらのx、yに対して、x∨y,x∧y,x^*をそれぞれ、xとyの和集合、共通集合、Aに対するxの補集合とすれば、それらはそれぞれAの部分集合となり、P(A)の元である。1としてAを、0として空集合をとれば、それらはまたP(A)の元である。そして、これらの演算はまた条件(1)～(5)を満たす。したがって、P(A)はこれらのブール演算に関してブール代数である。この場合、x≦yは、集合の包含関係xyと一致する。

［西村敏男］

[参照項目] | 記号論理学 | ブール

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ブール代数
ブールだいすう

「ブール束」のページをご覧ください。

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