ブール代数(読み)ブールダイスウ(英語表記)Boolean algebra

翻訳|Boolean algebra

デジタル大辞泉 「ブール代数」の意味・読み・例文・類語

ブール‐だいすう【ブール代数】

論理学命題を記号化し、代数学を使って展開したもの。英国の数学者ブール創始

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精選版 日本国語大辞典 「ブール代数」の意味・読み・例文・類語

ブール‐だいすう【ブール代数】

  1. 〘 名詞 〙 ( ブールはBoole ) 論理を記号化して得られた代数。一九世紀、イギリスの数学者ブール(George Boole)によって開発された。

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改訂新版 世界大百科事典 「ブール代数」の意味・わかりやすい解説

ブール代数 (ブールだいすう)
Boolean algebra

G.ブール論理計算のために導入した概念であり,今日では,またはのことばで述べられるのがふつうである。まず論理計算との関連を見よう。一つの集合Mの元について述べられた条件の集りLについて,条件xを満たすMの元の集合をMxで表し,MxMyのときxyがあると考えることにする。このとき,〈xかつy〉を満たすMの元の集合はMxMyであるから,〈xかつy〉をxyで表すことにする。同様の理由で,〈xまたはy〉をxyで表す。Lは考えうる条件全部とは限らないが,次の条件を満たすものとしよう。(1)xLならば,xの否定xL,(2)xyLならばxyxyはともに∈L。この場合,MxMyのときxyと定めれば,L順序集合になり,xyは{zMzxzy}の最大元,xyは{zMzxzy}の最小元となり,∩,∪によりLに束の構造が入る。Mx空集合だから,xxLの最小元である。MxMだから,xxLの最大元になる。したがって,Lは次の条件(1),(2),(3)を満たす束である。(1)Lには最大元Iおよび最小元0がある。(2)xLならば,適当な元x′により,xx′=Ixx′=0。このx′はxの相補元と呼ばれる(xの否定xxの相補元である)。(3)xyzLならば,x∩(yz)=(xy)∪(xz)。

 一般に,この条件(1)~(3)を満たす束をブール束,またはブール代数という。次の(3)′により(1),(2),(3)′を条件にしても同等である。(3)′axbabxL)ならばxabに関する相対補元y(定義は,xyaxybとなる元y)が存在し,かつただ一つに限る。

 環のことばでは次のように述べることができ,そのときLはブール環であるという。(1)Lは単位元をもつ環であり,(2)すべてのxLについてx2x。この条件から,(3)xLならばxx=0,(4)xyLならばxyyxが得られる。なぜなら,(1)により,4x=4x2=(xx2xx。ゆえに2x=0。また,xy=(xy2x2xyyxy2xyxyyx。ゆえにxyyx=0。これと(3)とからxyyx

 環によるものと束によるものとの関連について述べよう。ブール束Lが与えられたとき,xyxyによって乗法を定め,0とxyに関するxyの相対補元をxyと定めればLはブール環になる。逆にLがブール環であれば,xyxyxyxyxyと定めればLはブール束になるのである。
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日本大百科全書(ニッポニカ) 「ブール代数」の意味・わかりやすい解説

ブール代数
ぶーるだいすう

イギリスの数学者G・ブールが論理計算の場として導入した代数系で、論理学、集合論への適用だけでなく、コンピュータの回路設計など、その応用範囲は広い。理論は二値の述語論理で、論理式全体の集合をFとし、任意の論理式pとqについて、p=qとはp≡q(pとqは同値)が成り立つこととする。三つの論理演算p∨q(pあるいはq)、p∧q(pかつq)、~p(pの否定)を考える。このとき次の式が成り立つ。

(1) p∨q=q∨p p∧q=q∧p
(2) p∨(q∨r)=(p∨q)∨r
    p∧(q∧r)=(p∧q)∧r
(3) (p∨q)∧q=q
     (p∧q)∨q=q
(4) (p∨q)∧r
    =(p∧r)∨(q∧r)
    (p∧q)∨r
    =(p∨r)∧(q∨r)
論理式pとqのいかんにかかわらず、
   p∨~p=q∨~q,
   p∧~p=q∧~q
である。そこで、p∨~p,p∧~pをそれぞれ1(真)と0(偽)で表すと、
(5) p∨~p=1 p∧~p=0
である。これを一般化する。すなわち、集合Bは少なくとも二つの元1と0を含み、Bの二つの元xとyには、x∨y,x∧y,x*というBの元が定義されていて、次の条件を満たすとする。ここでx*はxの補元を表す。

(1) x∨y=y∨x x∧y=y∧x
(2) x∨(y∨r)=(x∨y)∨r
    x∧(y∧r)=(x∧y)∧r
(3) (x∨y)∧y=y
    (x∧y)∨y=y
(4) (x∨y)∧r
    =(x∧r)∨(y∧r)
    (x∧y)∨r
    =(x∨r)∧(y∨r)
(5) x∨x*=1 x∧x*=0
このときBをブール代数といい、二項演算x∨y,x∧yと一項演算x*ブール演算という。この条件(1)~(5)から、ド・モルガンの法則
  (x∨y)*=x*∧y*,(x∧y)*=x*∨y*
が導かれる。また、x≦yをx∧y=x(これはx∨y=yと同値)のこととすれば、Bは順序集合となり、x∨y(x∧y)は、xとyより大(小)なる最小(最大)の元になる。前の述語論理では、論理式pとqについて、p≦qはp→q(pならばq)のことである。

 次に集合計算について考える。集合Aの部分集合の全体をP(A)とする。P(A)の元x、yはともにAの部分集合である。これらのx、yに対して、x∨y,x∧y,x*をそれぞれ、xとyの和集合共通集合、Aに対するxの補集合とすれば、それらはそれぞれAの部分集合となり、P(A)の元である。1としてAを、0として空集合をとれば、それらはまたP(A)の元である。そして、これらの演算はまた条件(1)~(5)を満たす。したがって、P(A)はこれらのブール演算に関してブール代数である。この場合、x≦yは、集合の包含関係xyと一致する。

[西村敏男]

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ASCII.jpデジタル用語辞典 「ブール代数」の解説

ブール代数

イギリスの数学者George Boole氏が考案した、命題の真偽を演算によって処理するための代数。論理積論理和といった論理演算の基礎となるもの。0か1の2値で表すブール値をスイッチのオン/オフに当てはめ、論理演算回路を組める。

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 「ブール代数」の意味・わかりやすい解説

ブール代数
ブールだいすう

「ブール束」のページをご覧ください。

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