ブール代数(ブールだいすう)とは？意味や使い方

精選版日本国語大辞典「ブール代数」の意味・読み・例文・類語

ブール‐だいすう【ブール代数】

〘名〙 (ブールはBoole) 論理を記号化して得られた代数。一九世紀、イギリスの数学者ブール（George Boole）によって開発された。

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デジタル大辞泉「ブール代数」の意味・読み・例文・類語

ブール‐だいすう【ブール代数】

論理学の命題を記号化し、代数学を使って展開したもの。英国の数学者ブールが創始。

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改訂新版　世界大百科事典「ブール代数」の意味・わかりやすい解説

ブール代数 (ブールだいすう)
Boolean algebra

G.ブールが論理計算のために導入した概念であり，今日では束，または環のことばで述べられるのがふつうである。まず論理計算との関連を見よう。一つの集合Mの元について述べられた条件の集りLについて，条件xを満たすMの元の集合をM_xで表し，M_x＝M_yのときx＝yがあると考えることにする。このとき，〈xかつy〉を満たすMの元の集合はM_x∩M_yであるから，〈xかつy〉をx∩yで表すことにする。同様の理由で，〈xまたはy〉をx∪yで表す。Lは考えうる条件全部とは限らないが，次の条件を満たすものとしよう。（1）x∈Lならば，xの否定x∈L，（2）x，y∈Lならばx∩y，x∪yはともに∈L。この場合，M_x≧M_yのときx≧yと定めれば，Lは順序集合になり，x∩yは｛z∈M｜z≦x，z≦y｝の最大元，x∪yは｛z∈M｜z≧x，z≧y｝の最小元となり，∩，∪によりLに束の構造が入る。M_xは空集合だから，x∩xはLの最小元である。M_x＝Mだから，x∪xはLの最大元になる。したがって，Lは次の条件（1），（2），（3）を満たす束である。（1）Lには最大元Iおよび最小元0がある。（2）x∈Lならば，適当な元x′により，x∪x′＝I，x∩x′＝0。このx′はxの相補元と呼ばれる（xの否定xがxの相補元である）。（3）x，y，z∈Lならば，x∩（y∪z）＝（x∩y）∪（x∩z）。

　一般に，この条件（1）～（3）を満たす束をブール束，またはブール代数という。次の（3）′により（1），（2），（3）′を条件にしても同等である。（3）′a＜x＜b（a，b，x∈L）ならばxのa，bに関する相対補元y（定義は，x∩y＝a，x∪y＝bとなる元y）が存在し，かつただ一つに限る。

　環のことばでは次のように述べることができ，そのときLはブール環であるという。（1）Lは単位元をもつ環であり，（2）すべてのx∈Lについてx²＝x。この条件から，（3）x∈Lならばx＋x＝0，（4）x，y∈Lならばxy＝yxが得られる。なぜなら，（1）により，4x＝4x²＝（x＋x）²＝x＋x。ゆえに2x＝0。また，x＋y＝（x＋y）²＝x²＋xy＋yx＋y²＝x＋y＋xy＋yx。ゆえにxy＋yx＝0。これと（3）とからxy＝yx。

　環によるものと束によるものとの関連について述べよう。ブール束Lが与えられたとき，xy＝x∩yによって乗法を定め，0とx∪yに関するx∩yの相対補元をx＋yと定めればLはブール環になる。逆にLがブール環であれば，x∩y＝xy，x∪y＝x＋y＋xyと定めればLはブール束になるのである。
執筆者：永田雅宜

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日本大百科全書(ニッポニカ) 「ブール代数」の意味・わかりやすい解説

ブール代数
ぶーるだいすう

イギリスの数学者G・ブールが論理計算の場として導入した代数系で、論理学、集合論への適用だけでなく、コンピュータの回路設計など、その応用範囲は広い。理論は二値の述語論理で、論理式全体の集合をFとし、任意の論理式pとqについて、p=qとはp≡q（pとqは同値）が成り立つこととする。三つの論理演算p∨q（pあるいはq）、p∧q（pかつq）、～p（pの否定）を考える。このとき次の式が成り立つ。

(1)　p∨q=q∨p　p∧q=q∧p
(2)　p∨(q∨r)=(p∨q)∨r
　　　　p∧(q∧r)=(p∧q)∧r
(3)　(p∨q)∧q=q
　　　 (p∧q)∨q=q
(4)　(p∨q)∧r
　　　 =(p∧r)∨(q∧r)
　　　　(p∧q)∨r
　　　 =(p∨r)∧(q∨r)
論理式pとqのいかんにかかわらず、
　　 p∨～p=q∨～q,
　　p∧～p=q∧～q
である。そこで、p∨～p,p∧～pをそれぞれ1（真）と0（偽）で表すと、
(5)　p∨～p=1　p∧～p=0
である。これを一般化する。すなわち、集合Bは少なくとも二つの元1と0を含み、Bの二つの元xとyには、x∨y,x∧y,x^*というBの元が定義されていて、次の条件を満たすとする。ここでx^*はxの補元を表す。

(1)　x∨y=y∨x　x∧y=y∧x
(2)　x∨(y∨r)=(x∨y)∨r
　　　　x∧(y∧r)=(x∧y)∧r
(3)　(x∨y)∧y=y
　　　　(x∧y)∨y=y
(4)　(x∨y)∧r
　　　 =(x∧r)∨(y∧r)
　　　　(x∧y)∨r
　　　 =(x∨r)∧(y∨r)
(5)　x∨x^*=1　x∧x^*=0
このときBをブール代数といい、二項演算x∨y,x∧yと一項演算x^*をブール演算という。この条件(1)～(5)から、ド・モルガンの法則
　　(x∨y)^*=x^*∧y^*,(x∧y)^*=x^*∨y^*
が導かれる。また、x≦yをx∧y=x（これはx∨y=yと同値）のこととすれば、Bは順序集合となり、x∨y(x∧y)は、xとyより大（小）なる最小（最大）の元になる。前の述語論理では、論理式pとqについて、p≦qはp→q（pならばq）のことである。

　次に集合計算について考える。集合Aの部分集合の全体をP(A)とする。P(A)の元x、yはともにAの部分集合である。これらのx、yに対して、x∨y,x∧y,x^*をそれぞれ、xとyの和集合、共通集合、Aに対するxの補集合とすれば、それらはそれぞれAの部分集合となり、P(A)の元である。1としてAを、0として空集合をとれば、それらはまたP(A)の元である。そして、これらの演算はまた条件(1)～(5)を満たす。したがって、P(A)はこれらのブール演算に関してブール代数である。この場合、x≦yは、集合の包含関係xyと一致する。

［西村敏男］

[参照項目] | 記号論理学 | ブール

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