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双曲線関数 そうきょくせんかんすう hyperbolic functions

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

双曲線関数
そうきょくせんかんすう
hyperbolic functions

指数関数 ex を用いて定義される次の6つの関数をいう。 三角関数と類似の性質をもつ理由は,三角関数が複素指数関数で表わせるからで,複素変数の立場では,三角関数の同類である。三角関数が円と結びついているように,双曲線関数双曲線と結びついているので,相対論のような双曲的な幾何では三角関数の代りになる。

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百科事典マイペディアの解説

双曲線関数【そうきょくせんかんすう】

指数関数を用いて定義される次の関数をいう(記号のhは双曲線hyperbolicの頭文字)。 双曲線正弦 sinh x=(e(x/)−e(-/)(x/))/2 双曲線余弦 cosh x=(e(x/)+e(-/)(x/))/2 双曲線正接 tanh x=sinh x/cosh x 双曲線余接 coth x=1/tanh x 双曲線正割 sech x=1/cosh x 双曲線余割 cosech x=1/sinh x双曲線関数と三角関数の間にはsinh ix=i sinx,cosh ix=i cosx,tanh ix=i tanxなどの関係があり,また三角関数と類似した性質をもち,cosh2x−sinh2x=1,sinh(x+y)=sinh x cosh y+cosh x sinh yなどの関係が成り立つ。

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世界大百科事典 第2版の解説

そうきょくせんかんすう【双曲線関数 hyperbolic function】

指数関数を用いて定義される次の6個の関数を総称して双曲線関数という。 双曲線関数は三角関数と類似の性質をもっている。すなわち,coshxとsechxとは偶関数,他は奇関数であり, sinhxcosechx=1,coshxsechx=1,  tanhxcothx=1 cosh2x-sinh2x=1,1-tanh2x=sech2x,  coth2x-1=cosech2xまた例えばsinhxとcoshx加法定理,微分法の公式,べき級数展開は次のようになる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

双曲線関数
そうきょくせんかんすう
hyperbolic functions

指数関数を用いて定義される六つの関数、すなわち、(1)双曲線正弦関数、(2)双曲線余弦関数、(3)双曲線正接関数、(4)双曲線余接関数、(5)双曲線正割関数、(6)双曲線余割関数を総称していう。

 sinhの読み方は、ハイパーボリック・サインで、他も同様に読む。双曲線関数は三角関数と似た性質をもっている。いま、
  x=cosht, y=sinht
と置くと、x2-y2=1という関係がある。したがって、この関数は直角双曲線を媒介変数表示するために用いられる。とくにy=coshxのグラフはカテナリーとよばれる。
 双曲線関数の逆関数は次のようになる。これらは初等関数の不定積分において重要である。

etをtが複素数の場合にまで拡張して考えることにより、双曲線関数もtが複素数値の場合にまで拡張して考えることができる。そうすると

となる。[竹之内脩]

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