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初等関数 しょとうかんすう elementary functions

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

初等関数
しょとうかんすう
elementary functions

代数関数と初等超越関数を合せていう。次のようなものがある。 (1) 代数関数 有理整関数。有理分数関数無理関数。 (2) 初等超越関数 三角関数逆三角関数指数関数双曲線関数。逆双曲線関数。

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デジタル大辞泉の解説

しょとう‐かんすう〔‐クワンスウ〕【初等関数】

微分積分学で、基本的であると考えられる関数。代数関数三角関数指数関数対数関数など。

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世界大百科事典 第2版の解説

しょとうかんすう【初等関数 elementary function】

実数または複素数の関数で,代数関数指数関数対数関数三角関数逆三角関数およびそれらの合成関数を作ることを有限回繰り返して得られる関数を,初等関数という。この定義により双曲線関数なども初等関数である。これに対し,Γ関数楕円関数などは初等関数でない。代数関数にはf(x)=(x2+2x-3)/(x+4)のように有理式で表される有理関数と,のように無理式で表される無理関数とがある。代数関数以外の関数を超越関数と呼ぶが,初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

初等関数
しょとうかんすう

微分積分学で基本的であると考えられる関数のこと。われわれの通常用いる関数はたいていこの範囲に入る。代数関数、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数、あるいはこれらから合成関数をつくる操作を何回か繰り返して得られる関数を初等関数という。代数関数は、xy2変数の多項式を0と置いた方程式
  P0(x)ynP1(x)yn-1+……+Pn-1(x)yPn(x)=0
をyについて解いて得られる関数yf(x)のことであり、このなかには、xの多項式で与えられる有理整関数、これに分数関数を加えた有理関数、これらに根号をつけた無理関数などが含まれる。代数関数でない初等関数を初等超越関数という。
 初等関数の導関数はつねに初等関数であるが、初等関数の不定積分は、一般に初等関数にはならない。たとえば、1/logx, sin(x2)などの不定積分は初等関数にはならない。さらに微分方程式の解なども一般に初等関数にならない。初等関数でないような関数の例としては、楕円(だえん)関数、ガンマ関数、ベッセル関数、誤差関数など、よく用いられるものでも多様のものがある。[竹之内脩]

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世界大百科事典内の初等関数の言及

【積分】より

…そのために,すでに知られている関数の組合せで計算する方法が積分法であって,微分法の逆演算にあたる。微積分学でおもな対象とする関数は,いわゆる初等関数,すなわち代数関数,指数関数,対数関数,三角関数,逆三角関数およびそれらの合成関数を作る操作を有限回行って得られる関数である。初等関数を微分すると必ず初等関数になるが,初等関数を積分すると必ずしも初等関数にならないので,初等関数の範囲で積分法がいつでもできるとは限らない。…

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