線形写像(読み)せんけいしゃぞう(英語表記)linear mapping

  • せんけいしゃぞう ‥シャザウ
  • せんけいしゃぞう〔シヤザウ〕
  • 線形写像 linear mapping

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ベクトル空間 V1 から V2 への写像 fV1V2 が次の2つの条件,すなわち,(1) V1 の任意の元 xx に対して,f(xx)=f(x)+f(x) ,(2) λ をスカラーとするとき,V1 の任意の元 x に対して fx)=λf(x) を満たす f を線形写像 (1次写像) という。一般に,V1V2 が有限次元であれば,これらの空間に基底を定めることによって,線形写像を行列で表現できる。線形写像の例は多いが,たとえばユークリッド空間における回転,裏返し,比例拡大などは,その空間におけるベクトルに線形写像を引起す。 (→1次変換 )  

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デジタル大辞泉の解説

ベクトル空間から別のベクトル空間への写像fで、次の二条件を満たすもの。fab)=fa)+fb), fλa)=λfa)(abはベクトル、λはスカラー

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世界大百科事典 第2版の解説

二次の正方行列を一つ取り,平面のベクトル,に対して,と定める。fA(a)もまた平面のベクトルになるから,fAは平面のベクトル全体の集合からそれ自身への写像である。ところで,任意のベクトルabと,任意のスカラーα,βについて,fAa+βb)=αfA(a)+βfA(b)となる。一般に体K上の線形空間V,W間の写像fVWは,Vの任意の元abKの任意の元α,βについて,fa+βb)=αf(a)+βf(b)であるという性質をもつとき線形写像であるといわれる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

平面を自分自身に写す写像fが、直線を直線に写し、原点を原点に写すとき、すなわち直交座標系に関して、
  f(x,y)=(ax+by,cx+dy)
   (a,b,c,dは定数)
の形で表されるとき、fを平面の線形写像という。たとえば、原点の周りの角θの回転移動fは
  f(x.y)
   =(cosθ・x-sinθ・y,
   sinθ・x+cosθ・y)
と表され、またx軸に関する対称移動gは
  g(x,y)=(x,-y)
と表されるから、いずれも平面の線形写像である。しかし、平行移動は線形写像ではない。平面の線形写像は4個の定数a、b、c、dによって定まるので、これを2×2行列を用いて

と表すのが普通である。同様に、空間を平面に写す線形写像、あるいは直線を自分自身に写す線形写像などが考えられる。たとえば、変数yが変数xに比例しているという関係はcを定数としてy=cxと書けるから、これは直線を直線に写す線形写像とみなせる。あるいは、空間ベクトルA=(a,b,c)を一つ定めておき、任意の空間ベクトルX=(x,y,z)にXとAの内積ax+by+cz=f(X)を対応させる写像fは、空間を直線に写す線形写像である。
 このように線形写像は、一つのベクトル空間Vをもう一つのベクトル空間Wに写す写像とみなすことができて、次のような性質をもっていることが、定義からすぐわかる。
(1)Vのすべての元X、Yに対して、
  f(X+Y)=f(X)+f(Y)
(2)Vのすべての元Xとすべてのスカラーaに対して、
  f(aX)=af(X)
これは、線形写像がベクトルの和とスカラー倍を変えないものであることを意味している。なお、ベクトル空間Vをベクトル空間Wに写す写像fが(1)、(2)の性質を満たすとき、fをVからWへの線形写像ということも多い。[高木亮一]

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精選版 日本国語大辞典の解説

〘名〙 線形空間から線形空間への写像の一つ。線形空間Vから線形空間Wへの写像が次の条件を満たすとき、これをVからWへの線形写像という。(αa+βb)=α(a)+ β(b) (ただし、a、bはVの元、α、βはスカラー)。一次変換。

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