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逆関数 ぎゃくかんすうinverse function

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

逆関数
ぎゃくかんすう
inverse function

逆写像 inverse mappingともいう。 A から B への関数 f が全単射のときは,yB について f(x)=y となる xA が定まるわけなので,y にこの x を対応させることによって,B から A への関数 xg(y) が定まる。この gf の逆関数という。一般の関数の場合には,yf(A) について,f(x)=y となる x があるが,これが一意的とかぎらないので,y から x を対応させようとしても,多価関数になってしまう。この場合には,リーマン面のようなものを考えて,f(A) のほうを何重かにして一価関数としての逆関数が考えられるようにするか,初等的には f の定義域を制限しておくなどする。たとえば,実数 R から R への関数 yx2 では f(R) は正の半直線 R+ ,その範囲でも x は ±√y の2つがあるが,定義域を R+ に制限すると,R+ から R+ への全単射が得られるので,逆関数 x=√y が得られる。 ±√y の出てくる逆関数を考えるには,R+ を2重にして,つまり直線を2つ折りにした空間を考えると,そこから R への関数と考えることができる。

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デジタル大辞泉の解説

ぎゃく‐かんすう〔‐クワンスウ〕【逆関数】

関数yfx)のxyとを入れ換えて得られる関数xfy)のこと。yf-1x)と表す。

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百科事典マイペディアの解説

逆関数【ぎゃくかんすう】

xの関数y=f(x)において,その値域に属するyの各値に対し対応するxの値が定まるとき,xをyの関数とみなしx=f(-/)1(y)と書き,これをもとの関数f(x)の逆関数という。
→関連項目写像

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世界大百科事典 第2版の解説

ぎゃくかんすう【逆関数 inverse function】

xの関数yf(x)があるとき,その値域に属するyのおのおのの値に対して,yf(x)となるxがただ一つ定まる場合,xyの関数と考えてxf-1(y)と書き,f-1fの逆関数という。例えばf(x)=の逆関数はf-1(x)=x2である。fの定義域,値域ともに実数の集合の場合は,fが狭義単調(fにおいてx1x2ならば,f(x1)<f(x2),またはf(x1)>f(x2)が成り立つ)ならば逆関数f-1が存在する。

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大辞林 第三版の解説

ぎゃくかんすう【逆関数】

ある関数の独立変数と従属変数を入れかえて得られる関数。例えば指数関数 y a x と対数関数 y =log a x の関係をいう。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

逆関数
ぎゃくかんすう
inverse function

ある数yが、他の数xの変化に伴って変化するとき、yをxの関数といい、y=f(x)で表す。この逆向きの対応を考えて、y=f(x)の関係があり、その値域に属するyの変化に伴って、xの値がただ一つ定まるとき、これを逆関数という。y=f(x)の逆関数はx=f-1(y)で表す。一般にy=f(x)の逆関数を求めるには、これをxについて解いてx=g(y)の形とし、ここでxとyを入れ替える。こうして、逆関数y=g(x)が定まる。たとえば、y=2x-3の逆関数を求めるには、

とすればよい。同様に、定義域をx≧0とした場合のy=x2の逆関数は、y=であり、指数関数y=ax(a>0, a≠1)の逆関数は、対数関数y=logaxである。y=f(x)のグラフとy=f-1(x)のグラフは、直線y=xに関して互いに対称である。[竹之内脩]

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