ガウスの定理（読み）がうすのていり

日本大百科全書(ニッポニカ)

ガウスの定理
がうすのていり

一般にベクトルvの場で、一閉曲面Sに囲まれた空間Rを考えたとき、この曲面上で外向き法線上の単位ベクトルをnとし、直交座標系の基本ベクトルをi、j、kとすれば、（v・n）の面積積分は

の空間全体に対する体積積分に等しいという定理。つまり

この定理は電磁気学では、電気に関するガウスの定理としてとくに重要である。つまり、真空中の静磁場内で任意に閉曲面を考えるとき、この閉曲面を貫く全電場束は、その面内にある全電荷の代数和の4π倍に等しいことが導かれる。電場ベクトルをEとすれば、

ここで右辺の積分は、閉曲面Sによって囲まれた体積V内の全電気量を意味する。またこの定理の微分形として
　　div E＝4πρ
がある。同様に磁気に対するガウスの定理は
　　div H＝4πρ_m
となる。なおここでρおよびρ_mはそれぞれ電荷および磁化密度である。

［安岡弘志］

ガウスの定理

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ガウスの定理
ガウスのていり
Gauss' theorem

ガウスの発散定理または単に発散定理ともいう。ベクトル解析における定理。いくつかの閉曲面で囲まれた有界な領域を V とするとき，ベクトル場 F が V およびその境界面 S 上で連続な偏微分係数をもてば，ベクトル場 F の発散 divF の V における体積分は，境界面 S の法線方向への F の成分の面積分に等しい。すなわち
である。ここで n は，S の単位法線ベクトルであり，S の内部から外部に向うものとする。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典