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調和関数 ちょうわかんすうharmonic function

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

調和関数
ちょうわかんすう
harmonic function

2つの実変数 xy の実関数 u(xy) が,ある領域内で連続かつ1次および2次の偏導関数をもち,2次元のラプラスの方程式 Δu=∂2u/∂x2+∂2u/∂y2=0 を満たすとき,この関数 u(xy) はその領域において調和であるといい,u(xy) を調和関数と呼ぶ。

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世界大百科事典 第2版の解説

ちょうわかんすう【調和関数 harmonic function】

n(≧2)次元ユークリッド空間の領域Dにおいて定義された関数u(P)=u(x1,……,xn)が,連続な2階偏導関数をもち,ラプラスの偏微分方程式,を満たすならば,uDにおいて調和であるという。 uDで調和のとき,任意のPDと,Pを中心とする任意の閉球BD,その表面Sについて,が成り立つ。ここにrBの半径,τnとσnn次元単位球の体積と表面積,dτとdσは体積要素と面積要素を表す。つまりuPにおける値は,uBまたはSでの平均値に等しい。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

調和関数
ちょうわかんすう

n変数の関数u(x1,x2,……,xn)がラプラスの微分方程式

を満足するときこれを調和関数という。ここでは二変数のときに限って述べる。ラプラスの方程式は、電磁気学や流体力学などで、次の形でよく現れる。滑らかな曲線Cで囲まれた領域をDとするとき、C上で与えられた値f(ζ)をとり、D内で調和関数u(x,y)を求めよ、すなわち、
 Δu(x,y)=0 (x,y)∈D
  u(ζ)=f(ζ) ζ∈C
を解け、という境界値問題である。とくにCが原点を中心、半径Rの円のときは、解は極座標で表して、ポアソンの積分公式

で表される。調和関数は最大値原理を満たす。すなわち、最大値、最小値をとるのは領域Dの境界上に限る。これから、前の境界値問題の解はただ一つであることがわかる。[洲之内治男]

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世界大百科事典内の調和関数の言及

【球関数】より

…それはもっとも基本的な2階微分作用素であるラプラシアンΔに関係する。3変数x,y,zのときは,であり,Δu(x,y,z)=0となる関数uを調和関数という。適当な領域で温度分布uを考えたとき,定常状態ならそれは調和関数である。…

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