改訂新版 世界大百科事典 「ディラック方程式」の意味・わかりやすい解説
ディラック方程式 (ディラックほうていしき)
Dirac equation
電子に対する相対論的な波動方程式で,1928年P.A.M.ディラックによって提出された。ディラックは,(1)シュレーディンガー方程式と同様に時間について1階の微分方程式であること,(2)相対論の原理を満たす,つまりローレンツ変換に対し不変であること,(3)エネルギー,運動量,静止質量に関するアインシュタインの関係式が成り立つことの三つの原理から出発して,ディラック方程式と呼ばれる次の方程式を導いた。
iħ∂ψ/∂t=Hψ,H=α(∇/iħ)+mc2β ……(1)
ただしħはプランク定数hを2πで割ったもの,Hはハミルトニアン,mは電子の静止質量,cは真空中の光速度である。波動関数ψは4成分をもち,空間回転,ローレンツ変換に際し一定の規則で変換をうける。またα,βは4行4列のエルミート行列で,
αiαj+αjαi=2δij,αiβ+βαi=0,β2=1,i,j=1,2,3
の関係を満たす(δijはi≠jのとき0,i=jのとき1)。電磁場が存在するときは(1)式のハミルトニアンHに電磁ポテンシャルの項が加わる。
ディラック方程式からは電子のスピンが1/2であり,これに伴って1ボーア磁子の磁気モーメントをもつことが導かれる。また水素原子に用いた場合,そのスペクトルの微細構造を説明し,さらに自由電子に対するコンプトン効果による電磁波の散乱断面積を与えるクライン=仁科の式へ応用されるなどみごとな成功をおさめた。しかし,一方では(1)方程式には負のエネルギーをもつ解があり,電子が負のエネルギー状態に落ち込む可能性があるという不つごうを生じた(クラインのパラドックス)。これは最初ディラックの理論の欠陥と考えられていたが,ディラックは,真空とはすべての負エネルギー準位に電子が充満している状態であるとし,このうち一つの状態の電子にエネルギーが与えられて正エネルギー状態へ移り空孔ができると,その空孔は電子と逆に正の電荷をもち,正のエネルギーの粒子として観測されるという空孔理論を提唱して説明を与えた。彼は初め空孔を陽子と考えたが,32年に陽電子が発見され,空孔はこれであることがわかった。場の量子論ではディラック方程式は第二量子化され,電子と陽電子の集団を記述する。
→空孔理論
執筆者:宮沢 弘成
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報