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波動方程式 はどうほうていしきwave equation

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

波動方程式
はどうほうていしき
wave equation

一般には,を記述する偏微分方程式をいう。一様な媒質中を伝わる波の振動状態を表わす変数 f は,波動方程式 ∂2f/∂t2v2f ( △ はラプラシアン ) を満足する。ここで v は波の速度を表わす。波動方程式の解は前進波と後退波の和によって与えられる。狭義には,量子力学におけるシュレーディンガーの波動方程式をさす。

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世界大百科事典 第2版の解説

はどうほうていしき【波動方程式 wave equation】

位置座標x,y,zと時間tに関する2階線形偏微分方程式,を波動方程式という。この方程式を満足する関数u(x,y,z,t)は速さcで進む波の性質をもつ。例えば関数, uf(lxmynzct)      (l2m2n2=1) は上の方程式を満足するが,この関数はx軸,y軸,z軸となす角の余弦がそれぞれl,m,nで与えられる方向に進む平面波を表す。波動が起こる現象では,波として伝わる物理量の従う方程式が波動方程式の形をもつ。

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大辞林 第三版の解説

はどうほうていしき【波動方程式】

波動に関する運動方程式。空間座標と時間を独立変数とする偏微分方程式で、波動関数をその解として与える。量子力学では、シュレーディンガー方程式やディラック方程式をさす。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

波動方程式
はどうほうていしき
wave equation

二階線形双曲型方程式

を波動方程式という。f(x,y,z)が3回連続的微分可能、g(x,y,z)が2回連続的微分可能ならば、(1)の初期条件

を満たす解はただ一つ存在して

で与えられる(キルヒホッフの公式)。ここでStは(ξ,η,ζ)空間の(x,y,z)を中心とする半径tの球面、dSはその上の面素である。空間二次元、一次元の場合の解はそれぞれ

で与えられる。ただし、Dtは原点を中心とする半径tの円である。[小林良和]

物理学における波動方程式

一般に波においては、媒質の変位や、電場、磁場の成分のような物理量uが波動方程式とよばれる二階の偏微分方程式を満足する。波動方程式を満足する関数uは波動関数とよばれる。
 x方向に進行する波については、波動関数u(x,t)の時間tに関する二階の偏微分係数∂2u/∂t2が、位置座標xに関する二階の偏微分係数∂2u/∂x2に比例する。すなわち∂2u/∂t2=v2(∂2u/∂x2)で、これが(一次元の)波動方程式である。比例係数v2のvは波の伝わる速度である。この偏微分方程式の一般解は、
 u=u1+u2,u1=f(t-x/v),u2=g(t+x/v)
と書ける。ここに、fとgは、任意の関数である。u1はプラスx方向に、u2はマイナスx方向に、いずれも速度vで伝わる波を表す。一般には、時刻tに、位置座標(x,y,z)の点における波動関数u(x,y,z,t)は、波動方程式
  ∂2u/∂t2
   =v2(∂2u/∂x2+∂2u/∂y2
   +∂2u/∂z2)
を満足する。[飼沼芳郎]

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世界大百科事典内の波動方程式の言及

【波動】より

…電磁波は電磁誘導によって次々に磁場,電場が変化することによって伝わる。
[波動方程式]
 波動を理論的に取り扱うためには,まずそれを数式的に表現することが必要である。x軸の正の向きに進む波の形は,位置xと時間tの関数u(x,t)で表すことができる。…

【偏微分方程式】より


[振動・波動の問題]
 振動,または波動の現象では,時刻tにおける点xの変位u(t,x)があまり大きくないときは,それが時間tとともに変化する状態は次の方程式で記述される。この形の方程式を双曲型方程式,または波動方程式という。 (4)においてfが変数tを含まない場合で,温度が平衡状態にあるとき,すなわちuが時間とともに変化しないときは,∂u/∂t=0であるから,(1/c)f(x)をあらためてf(x)と書けば,(4)は, Δu=-fとなる。…

※「波動方程式」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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