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対数関数(読み)たいすうかんすう(英語表記)logarithmic function

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

対数関数
たいすうかんすう
logarithmic function

a ( a>0 ,a≠1 ) を底とする x の対数 yxay すなわち y= log axxy の間の関数関係と考えたとき,ya を底とする x の対数関数という。対数関数 y= log ax は指数関数 yax の逆関数であり,0<x<+∞ で定義された連続かつ狭義の単調関数である。ただし a>1 のときは単調増加関数,1>a>0 のときは単調減少関数である。

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世界大百科事典 第2版の解説

たいすうかんすう【対数関数 logarithmic function】

aを1でない正の定数とするとき,任意の正数xに対してayxとなる実数yがただ一つ定まる。このyを,aを底(てい)とするxの対数と呼んでy=logaxと書き,xにlogaxを対応させる関数をaを底とする対数関数という。対数関数y=logaxaを底とする指数関数yaxの逆関数である。 対数関数の導関数を求めるため,と変形する。ここでx/htとおくと,上の式は,となり,x>0だからh→±0のときt→±∞(複号同順)となるが,t→+∞としてもt→-∞としても同じ定数に近づくことが示される。

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大辞林 第三版の解説

たいすうかんすう【対数関数】

a を底とする対数 y =loga x において、 x を変数と考えたとき、 y a を底とする対数関数と呼ぶ。指数関数の逆関数である。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

対数関数
たいすうかんすう

変数xにその対数の値を対応させる関数のこと。a(a>0,a≠1)をとする対数関数をy=logaxで表す。y=logaxとはx=ayのことだから、対数関数は指数関数の逆関数である。y=logaxのグラフは、y=axのグラフを、直線y=xを軸として折り返せば得られる。logaxは、すべての正の実数xについて定義された関数で、loga1=0である。a>1のときは増加関数で、

0<a<1のときは減少関数で、

対数関数について、次の公式が成り立つ。
  logaxy=logax+logay
  logaxk=klogax
  logab・logbc=logac
 a=10、すなわち10を底とする対数を常用対数という。対数の底として10を使うのはわれわれが十進(じっしん)記数法を採用していることによる便宜的なものであり、数学的な根拠があるわけではない。数学では、数eを用いるのが普通である。とくに微分積分法との関連においては、諸公式を簡明にするので自然である。すなわち、

となる。eを底とする対数を自然対数といい、数学では、単にlogxと書けば、eを底とする対数を意味する。これを、自然対数をラテン語で書いたlogarithmus naturalisを略した形でlog nat、あるいはlnと書くこともある。たとえばln(1+x)はloge(1+x)を意味する。
 対数関数の値を計算するとき、次の展開式を利用する。

たとえばlog2は第二の式でx=1/3とすれば求められる。
 常用対数は、スコットランドのネーピアによって1615年ころにみいだされ、その後イングランドのブリッグズによって改良され、一般に用いられるようになった。ケプラーはネーピアからの知らせに驚喜してこれを活用し、有名なケプラーの法則の発見に至る計算をしたという。一方、

という関係は、1650年ころ、ベルギーのサン・バンサンGregorius Saint Vincent(1584―1667)によってその端緒が得られ、17世紀を通じて、だいたい確立された。[竹之内脩]

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