改訂新版 世界大百科事典 「テーラー級数」の意味・わかりやすい解説
テーラー級数 (テーラーきゅうすう)
Taylor series
実変数xの関数f（x）がx＝aにおいて何回でも微分可能なとき，級数，
をf（x）のaを中心とするテーラー級数という。テーラー級数が収束するxの範囲，および収束するときにそれが関数f（x）に等しくなるかどうかが問題となる。まずRを，
によって定義する（ただし，この上極限が0のときはR＝∞，上極限が∞のときはR＝0とする）。このとき，｜x｜＜Rならば級数（1）は収束するが，それがf（x）を表すとは限らない。f（x）がaを内部に含むある区間Iで何回でも微分可能ならば，その区間の中のxに対して次のように表される。
ここでRn（x）は剰余項と呼ばれ，各種の形に表されるが，もっとも簡単なものは下記のラグランジュの剰余形式である。
ただし，ξはaとxとの間にある適当な数であって，a，x，Nに関係して定まるものである。N→∞のとき区間Iの任意の点xにおいてRn（x）→0となるならば，この区間で無限級数（1）はf（x）を表す。すなわちf（x）は区間Iで（1）のテーラー級数に展開される。このとき（1）をf（x）の（区間Iにおけるaを中心とする）テーラー展開という。テーラー級数（1）において，とくにa＝0の場合をマクローリン級数といい，f（x）が0を中心としてこの形の級数に展開されるとき，その展開をマクローリン展開という。
f（x）がある区間で無限回微分可能であっても，テーラー展開されるとは限らない。例えば，関数，
はすべての実数xにおいて無限回微分可能であり，x＝0においてはf⁽n⁾（0）＝0（n＝0，1，2，……）となるから，テーラー級数（1）においてa＝0とするとすべての項が0となるが，x≠0ならばf（x）≠0であるから，f（x）を0を中心としてテーラー展開することはできない。
テーラー展開の例。実数α≠0に対して，
とする（αがn以上の自然数Nのときは，これは組合せの数nCnである）。このとき，
ただし，一般には－1＜x＜1で収束，α＞0ならば－1≦x≦1で収束し，－1＜α＜0ならば－1＜x≦1で収束する。とくにαが自然数ならば（6）の右辺は有限個の項からなり，（6）はすべての実数xに対して成立する。これはふつうの二項定理にほかならない。
f（x）がx＝aを含む区間で（N＋1）回まで微分可能ならば，その区間で，このNに対して（3），（4）が成立する。この事実をテーラーの定理という。
複素変数の場合。変数が複素数zの関数f（z）があって，z＝a（複素数）の近傍で正則ならば，Rを（2）によって定義するとき，f（z）は｜z－a｜＜Rにおいて（1）と同じ形の級数に展開される。すなわち，
これも（1）と同様にテーラー級数といい，この展開式を複素関数f（z）のテーラー展開という。前に例にあげた（6）～（10）における実変数xをすべて複素変数zに書き換えることができる。ただし，（6），（8）は｜z｜＜1において収束し，（7），（9），（10）はすべての複素数zに対して収束する。
→解析関数 →級数 →冪（べき）級数
執筆者：伊藤 清三
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報
ただしこの級数は，上式の右辺の剰余項 Rn＝f(n)(a＋θh)hn/n! が n→∞ のとき0に収束するようなすべての x の値について成立する。上の級数を，f(x) を展開して得られるテーラーの級数という。
となるときは，その近傍の中の任意のxに対して，(11)でn→∞とした式，
が成立する。この式をf(x)のテーラー展開といい，右辺の無限級数を