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ベイズの定理 ベイズのていり Bayes' theorem

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ベイズの定理
ベイズのていり
Bayes' theorem

確率論における重要定理の一つ。ある現象 B のすべての可能な原因 A1A2,…,An があるとき,各原因の生起確率 (事前確率) Pr(Ai)(i=1,2,…,n) ,およびその原因のもとでの B が生起する条件つき確率 Pr(BAi) から,逆に,結果である現象 B が起ったもとでの各原因 Ai が真である確率 (事後確率) Pr(AiB) を求める公式は次式で表わされる。

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世界大百科事典 第2版の解説

ベイズのていり【ベイズの定理 Bayes’ theorem】

ベーズの定理ともいい,イギリスの数学者ベーズThomas Bayes(1702‐61)にちなむ。全体が排反事象H1,H2,……,Hk,……に分かれていて,それらは起こりうる仮定を表しているとする。このときEという事象が観測されたとしよう。Hiが起こったとき(その確率P(Hi)は0でないとする)Eの条件付き確率P(E/Hi)は, P(EHi)/P(Hi)で表され,また仮定から,だから,確率の計算,により,を得る。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ベイズの定理
べいずのていり

k個の事象E1、E2、……、Ekがあって、このうちのどの二つも同時におこることはなく、k個のうちのどれか一つがかならずおこるとする。このとき、事象Eに対して

が成り立つ。これを発見したイギリスのベイズThomas Bayes(1702―61)にちなんで「ベイズの定理」という。前記の式の右辺の分母は、仮定によって
  P(E1∩E)+P(E2∩E)+……
    +P(Ek∩E)
   =P((E1∪E2
    ……∪Ek)∩E)=P(E)
である。一方、分子はP(Ei∩E)に等しいから前の等式が成り立つ。前記の等式(*)の右辺と左辺では、条件づけに用いられている事象が入れ替わっていることに注意されたい。
 この定理は応用が広い。いまk個の原因が考えられてその一つ一つの原因がおこるという事象をE1、E2、……、Ekとする。Eiという原因がおこった場合に、事象Eがおこるという条件付き確率がpEi(E)であり、逆に事象Eがおこった場合にそれがEiのもとでおこったという条件付き確率がpE(Ei)である。このように考えて、p(Ei)を事前確率、pE(Ei)を事後確率という。ベイズの定理は統計的推論を行うとき重要な役割を演ずる。[古屋 茂]

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世界大百科事典内のベイズの定理の言及

【確率】より

…任意の事象Aに対して,関係式P(A)=P(AH1)+P(AH2)+……+P(AHn)と,P(AHi)=P(A)P(Hi/A)=P(Hi)P(A/Hi)を用いてP(AHi)/P(A)をかき直せば,が得られる。これがいわゆるベイズの定理である。 条件付き確率の特別な場合として,事象ABが独立な場合のPA(B)を考えよう。…

【数理統計学】より

…さらに分散や高次モーメントをはじめ,今日の数理統計学の基礎となるいくつかの概念を導入し,その役割を明らかにした。これらラプラスやガウスの研究には,1763年に公にされたベイズの定理が支えになっており,原因から結果の生ずる確率があらかじめわかっているとき,原因の先験的な確率(事前確率)が与えられたら,結果が知られた後での原因の確率(事後確率)が計算できるという立場をとっている。この立場の理解については,後世まで議論されるところとなった。…

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