改訂新版 世界大百科事典 「ハミルトン関数」の意味・わかりやすい解説
ハミルトン関数 (ハミルトンかんすう)
Hamiltonian function
ニュートン(古典力学)の運動法則(質量×加速度=力)をもっとも一般的に扱う解析力学において中心的な役割を果たす量。通常正準座標q1,q2,……,qfとそれに対する正準運動量p1,p2,……,pfおよび時間tの2f+1個の独立変数の関数としてH(p1……pf,q1……qf,t)のように表されるものをハミルトン関数という。運動法則はこれを用いることにより,
と書き表される(この方程式を正準運動方程式,あるいは単に正準方程式という)。例えば質点mの一方向の運動方程式,は,ハミルトン関数,から正準方程式,
によって導かれることを見るのは容易である。H(p,q,t)の最後の変数tがHに実際含まれていない場合,運動方程式はエネルギーの積分H(p,q)=Eを許すので,H(p,q,t)は一般に扱っている力学系のもつエネルギーを表す量と考えられ,ハミルトニアンなる用語は力学変数で表された系のエネルギーの代名詞として用いられることが多い。標準的な例として,真空の電磁場におかれた荷電粒子(質量m,電荷e)の運動を導くハミルトニアンは,ベクトルポテンシャルAとスカラーポテンシャルφを用い,で与えられるが,これは荷電粒子の(電磁場との相互作用を含む)エネルギーを表し,これに電磁場固有のエネルギーを表すハミルトニアンを加えたものが全系のもつエネルギーのハミルトニアンを与えることとなる。
執筆者:長谷川 洋
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報