ペアノ曲線（読み）ぺあのきょくせん

日本大百科全書(ニッポニカ)

ペアノ曲線
ぺあのきょくせん

平面や空間の一部分をうずめ尽くす曲線をいう。曲線とは、一般にその点の座標が一つの実変数tの連続関数となっているようなものをいう。そこで、曲線というと、滑らかな線の形になっているものだけを想像するが、そうでない曲線もある。イタリアの数学者ペアノは1890年に、正方形の内部をうずめ尽くすような曲線の例をつくった。図の(1)のように、正方形D、および区間［0,1］を4等分して、正方形D_iD_iと線分T_iT_iを対応させる。このような操作を図の(2)、図の(3)のように順次行っていく。正方形の列
　D_i⊃D_ij⊃D_ijk⊃……
に対して、ただ一つの共有点x_ijk…が定まるが、この点を、線分の列
　T_i⊃T_ij⊃T_ijk⊃……
の共有点t_ijk…に対応させる。対応t_ijk…→x_ijk…は、区間［0,1］から正方形D上への連続な写像で、したがって正方形Dをうずめ尽くすような曲線となる。なお、A⊂Bは、AがBの部分集合であることを表す。以上のように構成された曲線には、二重点、四重点が無限に現れる。一般に正方形をうずめ尽くすようなペアノ曲線には三重点以上の重複点が無限に多く現れることが知られている。ブラウアーの領域の不変性の定理によれば、線分と正方形を連続的に1対1に対応させることはできない。ペアノ曲線は、1対1という条件を落とせば、線分から正方形の上への対応が可能であることを示している。一方、曲線の定義に、重複点が現れないという条件を加えたものを、ジョルダン曲線という。ジョルダン曲線は、正方形をうずめ尽くすようなことはできない。常識的に考えたときの曲線の性質をもっている。

［竹之内脩］

[参照項目] | 曲線 | ジョルダンの曲線定理

ペアノ曲線〔図〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ペアノ曲線
ペアノきょくせん
Peano curve

G.ペアノは，連続曲線であって，一つの正方形の内部を埋めつくすものの例を与えた。このような平面を埋めつくす曲線をペアノ曲線という。ペアノ曲線には多数の重複点がある。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典