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積分方程式 せきぶんほうていしきintegral equation

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

積分方程式
せきぶんほうていしき
integral equation

積分関数のなかに未知関数が含まれている形の方程式,特に積分変換の逆問題の形の方程式。たとえば,f(x) ,K(xy) を既知関数, を未知関数とすれば,



は積分方程式である。関数 K(xy) を積分方程式の核,積分方程式を満足する関数 をその解という。

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デジタル大辞泉の解説

せきぶん‐ほうていしき〔‐ハウテイシキ〕【積分方程式】

積分の中に未知の関数を含む方程式

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百科事典マイペディアの解説

積分方程式【せきぶんほうていしき】

積分記号の中に未知関数を含む方程式。最もよく現れるのは,K(x,y),f(x)を既知関数とし,u(x)を未知関数とするとき(式1)(式2)の形の方程式で,(1),(2)をそれぞれ第一種,第二種のフレドホルムの積分方程式という。
→関連項目解析学

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世界大百科事典 第2版の解説

せきぶんほうていしき【積分方程式 integral equation】

未知関数の積分を含む方程式をいう。1823年にN.H.アーベルが,重力場である曲線Cに沿って落下する質点の,落下時間とCの形との関係を論じて,次の方程式を立てた。ただし,曲線Cの方程式をx=φ(y)とするとき,であり,T(y)は高さyから0までの落下時間,gは重力による加速度である。ここで,T(y)を与えてu(η)を求める(それによって曲線Cを定める)問題を考え,上の積分方程式の解として,を得た。これが積分方程式の始まりである。

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大辞林 第三版の解説

せきぶんほうていしき【積分方程式】

未知関数の積分を含む方程式。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

積分方程式
せきぶんほうていしき

未知関数の積分を含む関係式を積分方程式という。たとえば、xを独立変数、u(x)を未知関数、f(x),K(x.ξ)を既知関数、λをパラメーターとして関係式

は積分方程式である。(1)をフレドホルム型、(2)をボルテラ型という。独立変数が二つ以上の場合も同様である。
 常微分方程式y″+λy=f(x)の境界条件y(a)=y(b)=0を満たす解y=y(x)を求める問題は、u(x)=y″(x)と置くことにより、(1)の形の積分方程式を

として解くことに同等になる。同様に、常微分方程式の初期値問題はボルテラ型の積分方程式を解くことに同等になる。関数u(x)に関数

を対応させる作用素をTと書くと、(2)は適当な関数空間における方程式
  u+λTu=f  (1)′
の形に書くことができる。この方程式(1)′は連立一次方程式と類似の性質をもつ。これらの性質はバナッハ空間やヒルベルト空間における有界作用素の性質として詳しく調べられている。この結果を用いて、積分方程式、したがって微分方程式の境界値問題などの可解性を論ずることができる。[小林良和]

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