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固有値 こゆうち eigenvalue; primitive root

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

固有値
こゆうち
eigenvalue; primitive root

固有根,あるいは特有値,特有根ともいう。 A=(aij) を n 次の正方行列とするとき,Ax=λx ( x0 でないベクトル,λ は定数) をみたす x を固有ベクトル,λ を固有値という。そのための条件は λ が n 次代数方程式 |A-λI|=0 の解であることである。

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デジタル大辞泉の解説

こゆう‐ち〔コイウ‐〕【固有値】

ベクトルを一次変換したとき、もとのベクトルの何倍になったかを示す値。Aを正方行列(一般に一次変換を表す)とするとき、Ax=λxとなるベクトルxをλに属する固有ベクトル、λをA固有値という。

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世界大百科事典 第2版の解説

こゆうち【固有値 eigenvalue】

X,Yは線形空間でYXを部分空間として含むものとし,LXからYへの線形作用素とするとき,Lu=λu(λは定数)となるようなuXu=0以外に存在するとき,λをLの固有値,uをそれに対応する固有ベクトル(Xが関数空間である場合には固有関数)といい,固有値および固有ベクトルを求める問題を固有値問題という。いくつかの具体例をあげよう。(1)Xn次元ベクトル空間で,XからXへの線形作用素Lが行列(aij)で与えられているとき,を満たすような0でないベクトル(x1,……,xn)が存在すれば,λはLの固有値である。

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大辞林 第三版の解説

こゆうち【固有値】

〘数〙 線形空間で、あるベクトルを線形変換した結果が、そのベクトルの定数倍に等しくなる時のその定数(一個とは限らない)。また、そのベクトルをその固有値に対する固有ベクトルという。
〘物〙 量子力学系に対して、ある物理量の観測を行うとき、測定値として得られる値を、その物理量の固有値という。系の状態によって固有値のいずれかが、測定値としてある確率で得られる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

固有値
こゆうち
eigenvalue

複素数(実数の場合を含む。以下同様)を成分とするn次正方行列A=(aij)と複素数λに対して、
  〔1〕) Ax=λx
を満たすゼロベクトルでないn次列ベクトル

があるとき、λを行列Aの固有値といい、xをAの固有値λに対する固有ベクトルという。たとえば

とすれば

であるから、λ=2はAの固有値で、

はλ=2に対する固有ベクトルである。与えられた正方行列の固有値と固有ベクトルを求める問題を固有値問題という。
 Enをn次単位行列とすると、〔1〕式は
  〔2〕 (λEn-A)x=0
となる。n次正方行列(λEn-A)で複素数λを変数tに置き換え、n次正方行列(tEn-A)をつくる。その行列式

を行列Aの固有多項式または特性多項式という。この多項式ψA(t)は、(1)次数nで最高次の係数1、(2)tn-1の係数は -traceA=-(a11+a22+……+ann)、(3)定数項は(-1)ndetAなる変数tの多項式である。たとえば

に対して

である。
 与えられた正方行列Aと複素数λに対して、未知数x1、x2、……、xnの連立一次方程式〔2〕がゼロ解以外の解をもつ必要十分条件は
  det(λEn-A)=ψA(λ)=0
であるから、行列Aの固有値は固有多項式ψA(t)の根と一致する。したがって固有値問題は次の手順で解ける。まず固有多項式ψA(t)をつくり、その根λ1、λ2、……、λnを求め、次に、各λiに対して連立一次方程式(λiEn-A)x=0のゼロ解でない解xを求め、Aの固有値λiとそれに対する固有ベクトルxを得る。たとえば

に対して固有多項式はψA(t)=t2-7t+10で、その根はλ1=2、λ2=5である。λ1に対して、

の解は-x1-2x2=0であるから、

の形をしており、c=-1としたものが冒頭の例である。同様にλ2に対して、

の解は

の形をしており、たとえばc=1とした

はλ2に対する固有ベクトルである。
 このように、n次正方行列Aの固有値はたかだかn個であるが、各固有値λに対する固有ベクトルは無数にある。Wλを、行列Aの固有値λに対する固有ベクトル全体と0(ゼロベクトル)のつくる集合とする。Wλはn次元ベクトル全体のつくる線形空間Cnの部分空間である。Wλを行列Aの固有値λに対する固有空間という。
 n次正方行列A、Bに対し、n次正則行列(すなわち逆行列の存在する行列)PがあってB=P-1APとなるとき、AとBは相似であるという。たとえば

とすると、

であるから、AとBは相似である。相似関係は同値関係である。相似である二つの正方行列は共通の固有多項式をもち、したがって固有値は一致する。さらに共通の固有値に対する固有空間の次元は等しい。このように相似である行列は行列としての重要な性質を共有するから、与えられた正方行列Aに対し、より簡単な行列BでAに相似であるものをみつけることが有力な研究手段になる。これについては、行列Aが対角行列に相似であるためには、Aの各固有値に対し、固有空間Wλの次元が固有多項式ψA(t)における根λの重複度に一致することが必要十分条件であり、とくにAの固有値がすべて相異なるとき、Aは対角行列に相似であることが知られている。
 複素線形空間Vの線形変換Tと複素数λに対し、T(x)=λxを満たすようなゼロ元でないVの元xがあるとき、λを線形変換Tの固有値といい、xをTの固有値λに対する固有ベクトルという。固有ベクトルxはTによって方向の変わらないベクトルである。線形変換に対しても行列と同様に固有値問題が考えられるが、Vの基底e1,……, enをとり、

なるaijで正方行列A=(aij)をつくると、TとAの固有値は一致し、

がAの固有値λに対する固有ベクトルなら、x1e1+……+xnenはTの固有値λに対する固有ベクトルで、逆も成り立つから、線形変換Tの固有値問題は、完全に行列Aの固有値問題に帰着される。[菅野恒雄]

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世界大百科事典内の固有値の言及

【積分方程式】より

… (1)の核に助変数λを含ませた方程式,を考えることが多い。この右辺を0で置き換えた方程式,については,φ0(x)≡0なるφ0は一つの解であるが,(7)がこのφ0以外の解φをもつようなλを固有値といい,そのときの解φを固有値λに属する固有関数という。 K(x,y)が実数値で,かつK(x,y)=K(y,x)を満たすとき,これを対称核という。…

【量子力学】より

…どんな関数がこの性質をもつかは演算子によって違うが,非常に限られた種類のものであることは確かなので,それらを一括して演算子の固有関数とよぶ。そしてを作用させたときの倍率Enを固有値とよぶ。前項に述べたことと併せていえば,量子力学的な系のエネルギーがとりうる値は,この系のハミルトニアン演算子の固有値に限られる。…

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