大数の法則（読み）タイスウノホウソク（英語表記）law of large numbers

デジタル大辞泉

たいすう‐の‐ほうそく〔‐ハフソク〕【大数の法則】

確率論の基本法則の一。ある試行を何回も行えば、確率は一定値に近づくという法則。例えば、さいころを何回も振れば1の目の出る確率は6分の1に近づくなど。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

たいすう【大数】 の 法則(ほうそく)

1. 確率論の基本的な定理の一つ。ｐを一回の試行である事柄の起こる確率、εを任意の正数とするとき、この試行をｎ回繰り返した場合にこの事柄の起こる割合とｐとの差がεよりも小さい確率は、回数ｎを大きくすればするほど１に近くなるというもの。

出典　精選版 日本国語大辞典

改訂新版　世界大百科事典

大数の法則 (たいすうのほうそく)
law of large numbers

ベルヌーイ型の大数の弱法則とコルモゴロフの大数の強法則とがある。

　X₁，X₂，……，X_nを独立で，平均値がmで標準偏差がσである同じ分布に従う確率変数とする。それらの相加平均は，平均値はやはりmであるが，標準偏差はσ/\(\sqrt{n}\)の確率変数である。これにチェビシェフの不等式をあてはめると，かってな正数εに対して，

　P（｜X－m｜＞ε）≦σ²/（nε²）

である。nを大きくすれば右辺は0に近づく。よってXがmとε以上違う確率はnが大きければ十分小さい。これがベルヌーイによる大数の弱法則である。

　例えば，毎回成功する確率がp，失敗する確率がqである試行を独立にn回繰り返した場合を考えよう。各X_iがi回目の試行に対応するとし，成功には1を，失敗には0をあてはめると，P（X_i＝1）＝p，P（X_i＝0）＝qである。は，平均値がnp，標準偏差がの二項分布に従う。このとき大数の弱法則は，Xがその平均値pとε以上違う確率はnが大きければ非常に小さいことを示す。なお，この法則はがnpに近いことを示すものではない。また，X＞pであるからといって，以後の試行でこれを補正しようとして成功する場合の回数が減少することを保証するものでもない。

　大数の強法則は，A.N.コルモゴロフによって示されたものであるが，上記の弱法則よりも強い主張として次の結果がある。X_iは最初のように一般的な確率変数として，　大数の法則を統計的観察に適用すれば，大量を観測するほど，その相加平均が真の値に近づくことを意味する。
執筆者：飛田 武幸

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

日本大百科全書(ニッポニカ)

大数の法則
たいすうのほうそく

確率に関する法則。ベルヌーイの大数の法則と、大数の強法則とがある。さいころを多数回投げると、6の目が出るのは全体の回数のほぼ1/6であることが期待される。この事実を一般化して考える。ある試行において事象Eのおこる確率をpとし、この試行を独立にn回繰り返すとき事象Eのおこる回数をXnで表すと、nを十分大きくとれば、相対度数Xn/nは、例外的な場合を除けばほぼpに近い。これをベルヌーイの大数の法則という。この内容をさらに詳しくいうと次のようになる。上記のXnは確率変数で、その確率分布は二項分布B(n,p)であって、

となる。確率変数Yn=Xn/nに対して、チェビシェフの定理を適用すると、σn=σ(Xn)として
　　P(|Y_n-p|≧(cσ_n)/n)
　　　　　　　≦1/c²
となる。ただしcは1より大きい任意の数である。ここでε=cσ_n/nと置けば
　　P(|Y_n-p|≧ε)
　　　　　　　≦p(1-p)/nε²
したがって任意に与えられた二つの正数ε、ηに対してnを十分大きくとれば（p(1-p)/ηε²＜nのように）

が成り立つ。これがベルヌーイの大数の法則である。

　ベルヌーイの大数の法則について見方を逆にすると、多数回の実験による相対度数X_n/nによってp（その値が未知であるときにも）の値が推定されるという考えに導かれる。ド・モアブルもこの考えに到達していた。ベルヌーイの大数の法則は実質上は有限の場合の話である。nが無限に大きい場合はどうなるか。初めのさいころの例についていえば、n回のうちに6の目が出る回数をXnとすると、次の関係が成り立つ。

これはボレルが初めて証明した定理で、ベルヌーイの大数の法則より深い内容をもち、大数の強法則とよばれている。一般の形でいえば次のようになる。X₁、X₂、……、Xn、……は確率変数で、各Xiの分散は一定値以下であるとする。σ²(Xi)≦σ²＜∞、またX₁、X₂、……、Xn、……は独立とする。このとき

が成り立つ。

［古屋　茂］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

大数の法則
だいすうのほうそく
law of large numbers

理想的につくられた「さいころ」を振って出た目を記録すると，有限回の試行では1から6までのそれぞれの目が出る数は必ずしも等しくない。しかし，試行回数を無限に増していくと互いに限りなく等しくなっていく。このとき，大数の法則が成り立つという。言い換えると，ある事象 A の起る確率 p が，毎回の試行で一定値を示す場合，独立試行の回数 n を十分大きくすると，事象 A の起る回数 r と n との比，すなわち n 回の独立試行で A が起きた相対度数 r/n は，確率 p にほぼ等しくなる。この法則は，経験上の確率と理論上の確率が一致することを示す点で重要である。大数の法則は，ε を任意の小さい正の数とするとき，n→∞ であれば Pr{｜r/n－p｜≧ε}→0 と表わす。これは弱法則と呼ばれる。これの簡単な場合が J.ベルヌーイが定式化した (発表は死後の 1713) ベルヌーイの定理と呼ばれるものである。さらに，
という強法則もある。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

百科事典マイペディア

大数の法則【たいすうのほうそく】

〈１回の試行で，ある事象の起こる確率がpであるとき，この試行を独立にn回繰り返したとき，この事象が起こる回数をfとすると，これが起こる割合f/nは試行回数nが大きくなるに従ってpに近づく〉という定理。1713年J.ベルヌーイが初めて定式化。これにより経験的確率と数学的確率が一致し，確率論の実際的応用の根拠が与えられる。
→関連項目保険

出典　株式会社平凡社

損害保険用語集

大数の法則

サイコロを振って1の目の出る確率は、振る回数を増やせば増やすほど6分の1に近づいていきます。すなわち、ある独立的に起こる事象について、それが大量に観察されればある事象の発生する確率が一定値に近づくということであり、これを大数の法則といいます。個々人にとっては偶発的な事故であっても、大量に観察することによってその発生率を全体として予測できるということになります。保険料算出の基礎数値の一つである保険事故の発生率は、大数の法則に立脚した統計的確率にほかなりません。

出典　自動車保険・医療保険のソニー損保

法則の辞典

大数の法則【law of great numbers】

ベルヌーイの定理＊とも呼ばれる．独立な同一実験の集まりにおいて，N（B） を n 回の試行で事象Bが出現する回数，p をBが各試行で現れる確率としたとき，n が十分に大きければ，N（B）/n が p と非常に異なることはまずありえないという法則をいう．

出典　朝倉書店

保険基礎用語集

大数の法則

サイコロを振って1の目の出る確率は、振る回数を増やせば増やすぼど6分の1に近づいていきます。すなわち、ある独立的に起こる事象について、それが大量に観察されればされるほどある事象の発生する確率が一定値に近づくということです、これを大数の法則といいます。

出典　みんなの生命保険アドバイザー

ブランド用語集

大数の法則

大数の法則とは、コイン投げを数多く繰り返すことによって表の出る回数が1/2に近くなど、数多くの試行を重ねることにより事象の出現回数が理論上の値に近づく定理のことをいう。

出典　(株)トライベック・ブランド戦略研究所

世界大百科事典（旧版）内の大数の法則の言及

【生命保険】より

…　保険契約者から徴収される保険料は，保険者(保険会社の場合が多い)が算定し，集め，管理する。ところで，この保険料は，大数の法則による年齢ごとの死亡確率をはじめ，次のような原理にもとづいて計算される。　(1)大数の法則　独立な試行を多数回反復した場合に得られる標本平均は母集団平均に近い値をとるという法則である。…

【保険】より

…リスクにさらされた人が，保険団体を形成して，自己の所定のリスクを，大数の法則を応用して計算された保険料の形に変え，これに移転しプールすることによって，偶然な事故発生の場合に損害・損失が保険団体から補償される経済制度である。リスクとは事故により損害・損失を受ける可能性（あるいは不確実性）がある状態をいう。…

※「大数の法則」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」