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ハミルトン関数 ハミルトンかんすうHamilton function

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ハミルトン関数
ハミルトンかんすう
Hamilton function

力学系の一般座標を qi(i=1,2,…,f) ,一般速度を ,一般運動量を piラグランジュ関数L とするとき,次の qipit の関数をハミルトン関数という。
保存力場において,Ht を含まないときには,H は全エネルギーを表わし,HTV である。ここで T は運動エネルギー,V はポテンシャルエネルギーを表わす。 H を用いてハミルトンの正準方程式が導き出され,力学系の運動が決められるから,H は力学系を規定する基本的な量である。量子力学では,Hハミルトニアンと呼ばれることが多い。

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世界大百科事典 第2版の解説

ハミルトンかんすう【ハミルトン関数 Hamiltonian function】

ニュートン(古典力学)の運動法則(質量×加速度=力)をもっとも一般的に扱う解析力学において中心的な役割を果たす量。通常正準座標q1,q2,……,qfとそれに対する正準運動量p1,p2,……,pfおよび時間tの2f+1個の独立変数の関数としてH(p1……pf,q1……qf,t)のように表されるものをハミルトン関数という。運動法則はこれを用いることにより,と書き表される(この方程式を正準運動方程式,あるいは単に正準方程式という)。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ハミルトン関数
はみるとんかんすう
Hamilton's function

座標と運動量の関数で、ある物理系の力学的特性を表しその運動を規定する量。イギリスの数学者・物理学者のW・R・ハミルトンが導入(1828、32)。保存力のみ働き拘束条件が時間を含まない場合には、系の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和、すなわち系の全エネルギーを表し、力学的エネルギー保存則はこの関数の値が時間的に変わらないことを意味する。ハミルトン関数に基づく運動方程式をハミルトンの正準方程式、それから出発する力学の形式をハミルトン形式とよぶ。その内容はニュートンの運動方程式と同等であるが、この形式では座標と運動量がともに独立変数で、両者を含む適当な座標変換に対して正準方程式の形が変わらないようにできる。そのような変換を正準変換という。
 正準方程式は量子力学のハイゼンベルク方程式に対応するもので、古典力学から量子力学への移行に重要な役割を演じた。自由度fの力学系のハミルトン関数をH、一般化座標とそれに共役な運動量を(qi,pi)i=1,2,……,fとすると、正準方程式はラグランジュ方程式を変形することによって、次のような2f個の連立一階偏微分方程式として得られる。
[永田 忍]

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世界大百科事典内のハミルトン関数の言及

【最小作用の原理】より

…ここで作用積分とは,質点の運動量p(t)をその描く軌道q(t)に沿って積分する,のことを意味していた(tは時間)。のちのハミルトンの原理からみてモーペルテュイの主張が正しいのは,質点のもつハミルトン関数Hp(t),q(t)以外に直接tに依存しない形式の場合,すなわちHが一定値E(運動エネルギーTと位置エネルギーUの和),言い換えれば軌道がすべてこのような等エネルギー面上にある場合である。実際,このときとなり(LTU,HTUはそれぞれラグランジュ関数とハミルトン関数),したがって運動を決める変分原理は,のように,モーペルテュイの形式とハミルトンの形式とが一致する。…

【ハミルトニアン】より

L(qii)=KVからpi=∂L/∂qiを定義し,piqiに共役な運動量という(iの・は,qiの1階の時間微分の意味)。iqipiで書き表し,qipiの関数として表したH(qi,pi)をこの力学系のハミルトン関数,あるいはハミルトニアンと呼ぶ。Kiの二次斉次式のときはHは系の全エネルギーに等しく,ハミルトニアンは系の全エネルギーを座標と運動量で書き表したものである。…

※「ハミルトン関数」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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